§9. Арифметическкая прогрессия — 28. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии — 584 — стр. 166

У нас есть арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 17\) и разностью \(d = -3\). Требуется найти количество членов \(n\), чтобы сумма первых \(n\) членов была положительной (\(S_n > 0\)).
Используем формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\)
Условие \(S_n > 0\) приводит к неравенству:
\(\frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 17 + (n-1) \cdot (-3)) > 0\)
Решая неравенство, получаем \(3n - 37n + 3n^2 > 0\), что упрощается до \(3n^2 - 37n < 0\). Решение этого неравенства дает \(n < \frac{37}{3}\), что округляется до \(n = 12\).
Таким образом, для того чтобы сумма первых \(n\) членов была положительной, нужно взять \(n = 12\).
Ответ: 12 членов.