§9. Арифметическкая прогрессия — 28. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии — 587 — стр. 166

\(\begin{cases}9 x ^ { 2 } + 9 y ^ { 2 } = 1 3 \\ 3 x y = 2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}9 x^2+9 \cdot\left(\frac{2}{3 x}\right)^2=13 \\y=\frac{2}{3 x}\end{cases}\)

\(9 x^2+\frac{4}{x^2}=13 \mid \cdot x^2 \)

\(9 x^4-13 x^2+4=0 \Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(9 x^2-4\right)=0 \Leftrightarrow\begin{cases}x^2=\frac{4}{9} \\x^2=1\end{cases}\)

\(\begin{cases}\begin{cases}x=\pm\frac{2}{3} \\x=\pm1\end{cases}\\y=\frac{2}{3x}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\begin{cases}x= \frac{2}{3} \\y=\frac{2}{3}\cdot(-\frac{3}{2})=-1\end{cases}\\\begin{cases}x=\frac{2}{3} \\y=1\end{cases} \\\begin{cases}x=-1 \\y=-\frac{2}{3}\end{cases} \\ \begin{cases}x=1 \\y=\frac{2}{3}\end{cases}\end{cases}\)

Ответ: \((-\frac{2}{3} ;-1),(\frac{2}{3} ; 1),(-1 ;-\frac{2}{3}),(1 ; \frac{2}{3})\).

\(\begin{cases}x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 9 \\ y ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}5 x ^ { 2 } = 2 9 - 9 \\ y ^ { 2 } = 2 9 - x ^ { 2 } \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^2=4 \\y^2=29-x^2\end{cases} \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x ^ { 2 } = 4 \\y ^ { 2 } = 2 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x = \pm 2 \\ y = \pm 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\begin{cases}x=-2 \\y=-5\end{cases}\\\begin{cases}x=-2\\y=5\end{cases}\\\begin{cases}x=2 \\y=-5\end{cases} \\\begin{cases}x=2 \\y=5\end{cases}\end{cases}\)

Ответ: \((-2 ;-5),(-2 ; 5),(2 ;-5),(2 ; 5)\).

\(\begin{cases}2 x ^ { 2 } + x y = 6 \\ 3 x ^ { 2 } + x y - x = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x ^ { 2 } - x = 6 - 6 \\ 2 x ^ { 2 } + x y = 6 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x(x-1)=0 \\2 x^2+x y=6\end{cases}\Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\begin{cases}x = 0 \\x = 1 \end{cases} \\2 x ^ { 2 } + x y = 6 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}\begin{cases}x = 0 \\ 2 \cdot 0 ^ { 2 } + 0 y = 6 \end{cases} \\\begin{cases}x = 1 \\ 2 \cdot 1 ^ { 2 } + y = 6 \end{cases}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\begin{cases}x = 0 \\ y \in \emptyset \end{cases} \\\begin{cases} x = 1 \\y = 4 \end{cases}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\y=4\end{cases}\)

Ответ: \((1; 4)\).

\(\begin{cases} 3 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } = 2 5 \\x ^ { 2 } - y ^ { 2 } + y = 5 | \cdot3 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} 3 x^2-2y^2=25 \\3 x^2-3 y^2+3 y=15\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y ^ { 2 } - 3 y = 2 5 - 1 5 \\ x ^ { 2 } =y ^ { 2 } - y + 5 \end{cases} \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases} y^2-3y-10=0 \\x^2=y^2-y+5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ( y + 2 ) ( y - 5 ) = 0 \\ x ^ { 2 } = y ^ { 2 } - y + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{cases} y=-2 \\y=5\end{cases} \\x^2=y^2-y+5\end{cases} \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases} \begin{cases} y = - 2 \\x ^ { 2 } = ( - 2 ) ^ { 2 } - ( - 2 ) + 5 = 1 3 \end{cases} \\\begin{cases} y = 5 \\ x ^ { 2 } = 5 ^ { 2 } - 5 + 5 = 2 5 \end{cases} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{cases} x = \pm \sqrt { 1 3 } \\ y = - 2 \end{cases} \\\begin{cases} x = \pm 5 \\y = 5 \end{cases} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{cases} x=-\sqrt{13} \\y=-2\end{cases} \\\begin{cases} x=\sqrt{13} \\y=-2\end{cases} \\\begin{cases} x=-5 \\y=5\end{cases} \\\begin{cases} x=5 \\y=5\end{cases} \end{cases} \)

Ответ: \((-\sqrt{13} ;-2),(\sqrt{13} ;-2),(-5 ; 5),(5 ; 5)\).