§10. Геометрическая прогрессия — 29. Определение геометрической прогрессии — 610 — стр. 173

Рассмотрим арифметическую прогрессию, где три числа обозначены как $x_1,x_2,x_3$, а разность этой прогрессии равна $b$.
$x_3=x_2+b=x_1+2b$
Также известно, что числа $x_1,(x_2-1)$ и $(x_3+1)$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q$.
$x_3+1=(x_2-1)\cdot q=x_1\cdot q^2$
Также у нас есть информация о сумме этих чисел:
$x_1+x_2+x_3=21$
Из этого уравнения можно выразить $x_1$ через разность $b$:
$$\begin{gathered} 3x_1+3b=21 \\ {x}_1+b=7 \end{gathered}$$
Таким образом, мы получаем $x_2=7$.
Теперь составим систему уравнений, используя условия задачи:
$\{\begin{array}{l}{x}_1(q-1)=b-1\\ x_1(q^2-1)=2b+1\end{array}$
Далее решаем систему:
$\{\begin{array}{l}{x}_1(q-1)=b-1\\ q=\frac{b+2}{b-1}\end{array}$
Подставив значение $q$ в первое уравнение, получаем:
$x_1=\frac{(b-1{)}^2}{3}$
Теперь подставим $x_1$ в уравнение для суммы, чтобы найти $b$:
$x_1+x_2+x_3=(b-1{)}^2+3b=21$
Решив это уравнение, получаем два возможных значения для $b$:
$b_1=4,b_2=-5$
Используем $b_1=4$ для нахождения $x_1,x_2,x_3$:
$x_1=3,x_2=7,x_3=11$
Или используем $b_2=-5$:
$x_1=12,x_2=7,x_3=2$
Ответ: Возможны два набора чисел: $3,7,11$ или $12,7,2$.