§10. Геометрическая прогрессия — 30. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии — 624 — стр. 178

Пусть числа \(b_1, b_2, b_3\) и \(b_4\) являются членами геометрической прогрессии. Из условия задачи известно, что \(b_1 + b_2 = 8\) и \(b_3 + b_4 = 72\)
Преобразуем систему уравнений:
\( \begin{cases}b_1 + b_1 q = 8 \\b_1 q^2 + b_1 q^3 = 72\end{cases}\)
\(\begin{cases}b_1(1 + q) = 8 \\b_1 q^2 (1 + q) = 72\end{cases}\)
\(\begin{cases}b_1(1 + q) = 8 \\q^2 = 9\end{cases}\)
Из системы получаем, что \(q = - 3\). Так как все члены прогрессии положительны, то \(q > 0\). Далее решаем систему уравнений:
\( \begin{cases}q = 3 \\b_1 = \frac{8}{1 + 3} = 2\end{cases}\)
\(S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = 242\)
\(\frac{2(3^n - 1)}{3 - 1} = 242\)
\(3^n = 243\)
\(n = 5
\)
Таким образом, получаем, что \(n = 5\).