§10. Геометрическая прогрессия — 31. Метод математической индукции — 631 — стр. 181

Для \(n=1\) верно следующее утверждение: \(\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\). Это легко проверить и подтвердить.
Теперь предположим, что для \(n=k\) сумма может быть вычислена по формуле: \(S_n=\frac{k}{k+1}\), где \(S_n\) представляет собой выражение \(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}\).
Теперь мы хотим доказать, что сумма может быть вычислена по формуле для \(n=k+1\). Добавим к предполагаемой формуле слагаемое \(\frac{1}{(k+1)(k+2)}\)
\(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\)
Теперь упростим полученное выражение\)
\(\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^2+2 k+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}\)
Таким образом, мы доказали, что формула справедлива для \(n=k+1\). Это завершает наше математическое рассуждение, и мы пришли к выводу, что \(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k+1}{k+2}\).