§10. Геометрическая прогрессия — Дополнительные упражнения к параграфу 9 — 641 — стр. 183

Имеем треугольник с длинами сторон $a_1,a_2$ и $a_3$. Периметр треугольника определен как $P=a_1+a_2+a_3=24\text{см}$.
Используя формулу арифметической прогрессии $a_n=a_1+(n-1)d$, где $d$ - разность, выражаем длины сторон через параметр $d$:
$a_1+a_2+a_3=a_1+a_1+d+a_1+2d=3a_1+3d$
$3a_1+3d=24$
$a_1+d=a_2=8\text{см}$
$a_1+8+a_3=24$
$a_1+a_3=16\text{см}$
Из условий неравенства треугольника $a_1+a_2>a_3$ и $a_3+a_2>a_1$ получаем систему:
$\{\begin{array}{l}{a}_1+8>a_3\\ a_3+8>a_1\\ a_1+a_3=16\end{array}$
$\{\begin{array}{l}{a}_1=16-a_3\\ 16-a_3-a_3+8>0\\ a_3+8-16+a_3>0\end{array}$
$\{\begin{array}{l}{a}_1=16-a_3\\ 24-a_3>0\\ 2a_3-8>0\end{array}$
$\{\begin{array}{l}{a}_1=16-a_3\\ a_3<24\\ a_3>4\end{array}$
Аналогичные ограничения для $a_1$ получаем $a_1>4$.
То есть $\{\begin{array}{l}{a}_1+a_3=16\\ a_1>4\\ a_3>4\end{array}$
Таким образом, возможные целые значения длин сторон треугольника $(a_1,a_2,a_3)$ включают в себя:
$(5,8,11),(6,8,10),(7,8,9),(8,8,8),(9,8,7),(10,8,6),(11,8,5)$
Эти комбинации соответствуют треугольникам, удовлетворяющим условиям неравенства треугольника и указанным ограничениям.