§10. Геометрическая прогрессия — Дополнительные упражнения к параграфу 9 — 641 — стр. 183

Имеем треугольник с длинами сторон \(a_1, a_2\) и \(a_3\). Периметр треугольника определен как \(P = a_1 + a_2 + a_3 = 24 \text{см}\).
Используя формулу арифметической прогрессии \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(d\) - разность, выражаем длины сторон через параметр \(d\):
\(a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_1 + d + a_1 + 2d = 3a_1 + 3d\)
\(3a_1 + 3d = 24\)
\(a_1 + d = a_2 = 8 \text{см}\)
\(a_1 + 8 + a_3 = 24\)
\(a_1 + a_3 = 16 \text{см}\)
Из условий неравенства треугольника \(a_1 + a_2 > a_3\) и \(a_3 + a_2 > a_1\) получаем систему:
\(\begin{cases}a_1 + 8 > a_3\\a_3 + 8 > a_1\\a_1 + a_3 = 16\end{cases}\)
\(\begin{cases}a_1 = 16 - a_3\\16 - a_3 - a_3 + 8 > 0\\a_3 + 8 - 16 + a_3 > 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}a_1 = 16 - a_3\\24 - a_3 > 0\\2a_3 - 8 > 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}a_1 = 16 - a_3\\a_3 < 24\\a_3 > 4\end{cases}\)
Аналогичные ограничения для \(a_1\) получаем \(a_1 > 4\).
То есть \(\begin{cases}a_1 + a_3 =16\\a_1 > 4\\a_3 > 4\end{cases}\)
Таким образом, возможные целые значения длин сторон треугольника \((a_1, a_2, a_3)\) включают в себя:
\((5, 8, 11), (6, 8, 10), (7, 8, 9), (8, 8, 8), (9, 8, 7), (10, 8, 6), (11, 8, 5)\)
Эти комбинации соответствуют треугольникам, удовлетворяющим условиям неравенства треугольника и указанным ограничениям.