Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Тождественные преобразования — 719 — стр. 193

Рассмотрим выражение \(\frac{5+\sqrt{y}}{5 \sqrt{y}+y}\):

\(\frac{5+\sqrt{y}}{5 \sqrt{y}+y} = \frac{5+\sqrt{y}}{\sqrt{y}(5+\sqrt{y})}\)

Мы видим общий множитель в числителе и знаменателе, поэтому можем сократить его:

\(\frac{5+\sqrt{y}}{\sqrt{y}(5+\sqrt{y})} = \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}}{y}\).

Рассмотрим выражение \(\frac{3x-6}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\):

\(\frac{3x-6}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\)

Снова заметим общий множитель в числителе и знаменателе \(\sqrt{x}+\sqrt{2}\) и сократим его:

\(\frac{3(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} = 3\sqrt{x}-3\sqrt{2}\).

Рассмотрим выражение \(\frac{a\sqrt{a}-1}{a+\sqrt{a}+1}\):

\(\frac{a\sqrt{a}-1}{a+\sqrt{a}+1} = \frac{\sqrt{a^3}-1}{a+\sqrt{a}+1}\)

Применим разность кубов и сократим общий множитель \(\sqrt{a}-1\):

\(\frac{\sqrt{a^3}-1}{a+\sqrt{a}+1} = \frac{(\sqrt{a})^3-1^3}{a+\sqrt{a}+1} = \frac{(\sqrt{a}-1)(a+\sqrt{a}+1)}{a+\sqrt{a}+1} = \sqrt{a}-1\).

Рассмотрим выражение \(\frac{b-\sqrt{b}+1}{b\sqrt{b}+1}\):

\(\frac{b-\sqrt{b}+1}{b\sqrt{b}+1} = \frac{b-\sqrt{b}+1}{\sqrt{b^3}+1}\)

Применим разность кубов и сократим общий множитель \(\sqrt{b}+1\):

\(\frac{b-\sqrt{b}+1}{\sqrt{b^3}+1} = \frac{b-\sqrt{b}+1}{(\sqrt{b})^3+1^3} = \frac{b-\sqrt{b}+1}{(\sqrt{b}+1)(b-\sqrt{b}+1)} = \frac{1}{\sqrt{b}+1}\).

Рассмотрим выражение \(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+y}\):

\(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+y} = \frac{\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}\)

Применим сумму кубов и сократим общий множитель:

\(\frac{\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{y}+(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{x-\sqrt{xy}+y}{\sqrt{y}}\).

Рассмотрим выражение \(\frac{c-\sqrt{cd}}{c\sqrt{c}-d\sqrt{d}}\):

\(\frac{c-\sqrt{cd}}{c\sqrt{c}-d\sqrt{d}} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{\sqrt{c^3}-\sqrt{d^3}}\)

Применим разность кубов и сократим общий множитель:

\(\frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{\sqrt{c^3}-\sqrt{d^3}} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{(\sqrt{c})^3-(\sqrt{d})^3} = \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{(\sqrt{c}-\sqrt{d})(c+\sqrt{cd}+d)} = \frac{\sqrt{c}}{c+\sqrt{cd}+d}\).