Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Уравнения и системы уравнений — 776 — стр. 200

Пусть числитель дроби равен \(x\) а знаменатель \(y\) (\(x > 0, y > 0\)). Составим систему уравнений:
\(\begin{cases}\frac{x-1}{y-1}=\frac{x}{y}+\frac{1}{6} \\ \frac{x+1}{y+1}=\frac{x}{y}-\frac{1}{10},\end{cases}\)
Приведем уравнения к общему знаменателю:
\(\begin{cases}\frac{6xy - 6y - 6xy + 6x - y^2 + y}{6y(y-1)} = 0 \\ \frac{10xy + 10y - 10xy - 10x + y^2 + y}{10y(y+1)} = 0\end{cases}\)
Решим получившиеся квадратные уравнения:
\(\begin{cases}-y^2 - 5y + 6x = 0 \\ y^2 + 11y - 10x = 0\end{cases}\)
Преобразуем уравнения и подставим значение \(x\) из первого уравнения во второе:
\(\begin{cases}y^2 + 5y - 6x = 0 \\ 6y - 4x = 0\end{cases}\)
Выразим \(x\) через \(y\) во втором уравнении:
\(\begin{cases}2x = 3y \\ y^2 + 5y - 9y = 0\end{cases}\)
Решим уравнение для \(y\):
\(\begin{cases}x = \frac{3}{2}y \\ y^2 - 4y = 0\end{cases}\)
Найдем значения \(y\) и подставим их в первое уравнение:
\(\begin{cases}x = \frac{3}{2}y \\ y - 4 = 0\end{cases}\)
Найденное решение:
\(\begin{cases}y = 4 \\ x = 6\end{cases}\)
Ответ: \(\frac{6}{4}\).