Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Уравнения и системы уравнений — 778 — стр. 201

По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\) где \(a\) и \(b\) - катеты (\(a > 0, b > 0\)). Площадь: \(S = \frac{1}{2}ab\)
\(\begin{cases}a^2 + b^2 = 41^2 \\ \frac{1}{2}ab = 180\end{cases}\)
Применим теорему Пифагора и найдем площадь:
\(\begin{cases}(a+b)^2 - 2ab = 41^2 \\ ab = 360\end{cases}\)
Разложим \(a+b\):
\(\begin{cases}(a+b)^2 = 1681 + 720 \\ ab = 360\end{cases}\)
Решим получившуюся систему:
\(\begin{cases}a+b = \pm 49 \\ ab = 360\end{cases}\)
Рассмотрим случаи:
1) \(\begin{cases}a & a = 49-b \\ b & 49 b - b^2 - 360=0\end{cases}\)
Решим уравнение для \(b\):
\( b^2 - 49b + 360 = 0 \\ b_{1,2} = \frac{49 \pm \sqrt{2401-1440}}{2} \\ b_1 = 40 \\ b_2 = 9 \)
Подставим значения \(b\) в уравнение \(a = 49 - b\):
\(\begin{cases}b = 40 \\ a = 9\end{cases} \text{или} \begin{cases}b = 9 \\ a = 40\end{cases}\)
2) \(\begin{cases}a=-49-b \\ -49 b-b^2-360=0\end{cases}\)
Решим уравнение для \(b\):
\( b^2 + 49b + 360 = 0 \\ b_{3,4} = \frac{-49 \pm \sqrt{2401-1440}}{2} \)
\(b_3 = -9\) - не соответствует условию;
\(b_4 = -40\) - не соответствует условию.
Итак, получаем ответ: Длины катетов равны 40 см и 9 см.