Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Неравенства — 815 — стр. 205

1) \(2x-5\) - равно любому числу, не зависящему от \(x\), что верно для всех \(x\)

2) \(\frac{1}{2x-5}\) - чтобы избежать деления на ноль, необходимо, чтобы знаменатель \((2x-5)\) не был равен нулю. Следовательно, \(2x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2.5\)

3) \(\sqrt{2x-5}\) - корень из выражения \((2x-5)\). Чтобы поддерживать корректное значение под корнем, необходимо, чтобы \(2x-5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2.5\).

1) \(2x^2 + 7x - 4\) - равно любому числу, не зависящему от \(x\), что верно для всех \(x\)

2) \(\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}\) - чтобы избежать деления на ноль, нужно, чтобы знаменатель \((2x^2 + 7x - 4)\) не был равен нулю. Решив квадратное уравнение в знаменателе, получаем два корня \(x_1 = 0.5\) и \(x_2 = -4\). Следовательно, чтобы избежать деления на ноль, \(x\) не должен быть равен ни \(0.5\), ни \(-4\)

3) \(\sqrt{\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}}\). Чтобы это было корректно, знаменатель \((2x^2 + 7x - 4)\) должен быть положительным, т.е. \(2x^2 + 7x - 4 > 0\). Найдем интервалы, где это неравенство выполняется, находя корни уравнения в знаменателе: \(x_1 = 0.5\) и \(x_2 = -4\). Следовательно, ответ - \(x \in (-\infty, -4) \cup (0.5, +\infty)\).

1) \(x^2 + 1 - x\) - равно любому числу, не зависящему от \(x\), что верно для всех \(x\)

2) \(\sqrt{x^2 + 1}\) - чтобы корень был корректным, выражение под ним \((x^2 + 1)\) должно быть неотрицательным. То есть, \(x^2 \geq -1 \Rightarrow x\) любое.

3) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) - чтобы избежать деления на ноль, знаменатель \((x^2 + 1)\) не должен быть равен нулю. Следовательно, \(x^2 \neq -1\) что выполняется для любого \(x\).