Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 859 — стр. 211

Составление системы уравнений:
Пусть числитель дроби равен $x$ а знаменатель - $y$. Составим систему:
$\{\begin{array}{l}y=x^2-1\\ \frac{x+2}{y+2}>\frac{1}{4}\\ \frac{x-3}{y-3}<\frac{1}{10}\end{array}$ $y\ne 0,y\ne -2,y\ne 3$
Приведение системы к более простому виду:
Перепишем систему уравнений:
$\{\begin{array}{l}y=x^2-1\\ 4x+8>y+2\\ 10x-30<y-3\end{array}$
Приведем к стандартному виду:
$\{\begin{array}{l}y=x^2-1\\ 4x-x^2+1>-6\\ 10x-x^2+1<27\end{array}$
Приведем уравнения к квадратичному виду:
$\{\begin{array}{l}y=x^2-1\\ x^2-4x-7<0\\ x^2-10x+26>0\end{array}$
Нахождение корней квадратных уравнений:
$\text{1) }{x}^2-4x-7=0$
$D=16+28=44$
$x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{44}}{2}=2\pm \sqrt{11}$
$\text{2) }{x}^2-10x+26=0$
$D=100-4\cdot 26=-4<0\text{ - решений нет;}$
Получаем:
$\{\begin{array}{l}y=x^2-1\\ x\in (2-\sqrt{11};2+\sqrt{11})\end{array}$
Проверка недопустимых значений:
При $x=1$ и $x=2$ $y$ принимает недопустимые значения.
Нахождение допустимых значений:
Подставим $x$ в систему уравнений:
$x=3,y=8$
$x=4,y=15$
$x=5,y=24$
Ответ: допустимые значения: $\frac{3}{8},\frac{4}{15},\frac{5}{24}$
Таким образом, уравнение $\frac{x}{y}$ принимает допустимые значения при $x=3,4,5$ соответственно.