Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 861 — стр. 211

\(x^3 - 9x^2 + mx - 15 = 0\)
Используем теорему Виета для уравнения третьей степени:
\(\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = 9 \\ x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3 + x_3 \cdot x_1 = m \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 15\end{cases}\)
Так как корни \(x_1, x_2\) и \(x_3\) образуют арифметическую прогрессию, представим их через первый член \(x_1\) и разность \(d\):
\(x_2 = x_1 + d, \quad x_3 = x_1 + 2d\)
\(x_1 + x_2 + x_3 = x_1+x_1+d+x_1+2d=3x_1+3d=3x_2=9\)
\(x_2 = 3\)
\(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = (x_2 - d) \cdot x_2\cdot (x_2 + d) = 15\)
\(x_2^2-d^2=5\)
\(d^2=x_2^2-5=9-5=4\)
\(d=\pm2\)
\(x_1 = 1, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = 5\)
Теперь найдем значение \(m\) через сумму произведений:
\(x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3 + x_3 \cdot x_1 = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 1 = 23\)
Ответ: \(m = 23\).