Упражнении дли повторении курса 7-9 классов — Задачи повышенной трудности — 883 — стр. 213

Давайте рассмотрим данное выражение:
\((5+10^{n+1})(1+10+\cdots+10^n)+1 \)
Выражение представляет собой произведение двух множителей. Второй множитель - сумма геометрической прогрессии, который можно выразить с использованием формулы суммы геометрической прогрессии:
\(1+10+\cdots+10^n=1+S_n=1+\frac{10(1-10^n)}{1-10}=\frac{-9+10-10^{n+1}}{-9}=\frac{10^{n+1}-1}{9}\)
\(\frac{(5+10^{n+1})(10^{n+1}-1)}{9}+1=\frac{5 \cdot 10^{n+1}-5+10^{2 n+2}-10^{n+1}+9}{9}\)
Упростим числитель:
\(\frac{10^{2 n+2}+4 \cdot 10^{2 n+1}+4}{9}=(\frac{10^{n+1}+2}{3})^2\)
Таким образом, получаем, что выражение равно \((\frac{10^{n+1}+2}{3})^2\).