Верно ли утверждение:
а) наибольшее значение дроби \(\frac{18}{4 x^{2}+9+y^{2}+4 x y}\) равно 1 ;
б) наибольшее значение дроби \(\frac{18}{4 x^{2}+9+y^{2}+4 x y}\) равно 2 ;
в) наименьшее значение дроби \(\frac{18}{4 x^{2}+9+y^{2}+4 x y}\) равно \(2\)?
Исходное выражение было упрощено следующим образом:
\(\frac{18}{4 x^{2}+9+y^{2}+4 x y}=\frac{18}{\left(4 x^{2}+4 x y+y^{2}\right)+9}=\frac{18}{(2 x+y)^{2}+9}\)
Минимальное значение знаменателя достигается при \((2 x+y)^{2}=0\), что соответствует случаю, когда \(2x+y=0\). Таким образом, минимальное значение знаменателя равно 9.
Максимальное значение дроби равно \(\frac{18}{9}=2\) и достигается при минимальном значении знаменателя.
Теперь рассмотрим варианты:
Максимальное значение дроби равно 1.
Это утверждение неверно, так как максимальное значение дроби равно 2.
Максимальное значение дроби равно 2.
Это утверждение верно, согласуется с проведенным анализом.
Минимальное значение дроби равно 2.
Это утверждение неверно.
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Верно ли утверждение: а) наибольшее значение дроби \(\frac{18}{4 x^{2}+9+y^{2}+4 x y}\) равно 1 ; б) наибольшее значение дроби \(\frac{18}{4 x^{2}+9+y^{2}+4 x y}\) равно 2 ; в) наименьшее значение дроби \(\frac{18}{4 x^{2}+9+y^{2}+4 x y}\) равно \(2\)?