Алгебра
2024
(Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:
а) \(\frac{x^{3}+3 x}{x+2}-\frac{3 x^{2}-14 x+16}{x^{2}-4}+2 x\) является положительным числом;
б) \(y+\frac{2 y^{2}+3 y+1}{y^{2}-1}-\frac{y^{3}+2 y}{y-1}\) является отрицательным числом.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто - задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.
3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).
а
\(\frac{x^{3}+3 x}{x+2}-\frac{3 x^{2}-14 x+16}{x^{2}-4}+2 x=\frac{\left(x^{3}+3 x\right)(x-2)-\left(3 x^{2}-14 x+16\right)+2 x\left(x^{2}-4\right)}{(x+2)(x-2)}=\)
\(=\frac{x^{4}+3 x^{2}-2 x^{3}-6 x-3 x^{2}+14 x-16+2 x^{3}-8 x}{(x+2)(x-2)}=\frac{x^{4}-16}{x^{2}-4}=\frac{\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+4\right)}{x^{2}-4}=\)
\(=x^{2}+4 \geq 4\).
б
\(y+\frac{2 y^{2}+3 y+1}{y^{2}-1}-\frac{y^{3}+2 y}{y-1}=\frac{y\left(y^{2}-1\right)+2 y^{2}+3 y+1-\left(y^{3}+2 y\right)(y+1)}{(y-1)(y+1)}=\)
\(=\frac{y^{3}-y+2 y^{2}+3 y+1-y^{4}-2 y^{2}-y^{3}-2 y}{(y-1)(y+1)}=-\frac{y^{4}-1}{y^{2}-1}=-\frac{\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}+1\right)}{y^{2}-1}=\)
\(=-\left(y^{2}+1\right) \leq-1\).
При подстановке недопустимых значений переменных, выражение теряет смысл.
Допустимые значения переменных:
а) \(x \neq \pm 2\) или \(x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)\)
б) \(y \neq \pm 1\) или \(y \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)\).
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
(Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения: а) \(\frac{x^{3}+3 x}{x+2}-\frac{3 x^{2}-14 x+16}{x^{2}-4}+2 x\) является положительным числом; б) \(y+\frac{2 y^{2}+3 y+1}{y^{2}-1}-\frac{y^{3}+2 y}{y-1}\) является отрицательным числом. 1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто - задание б), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования. 3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).
Еще решебники за 8 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 8 класс, которые могут быть Вам интересны.
