§ 3. Произведение и частное дробей — 7. Преобразование рациональных выражений — 164 — стр. 43

Рассмотрим данное выражение:
\( (\frac{9}{n^{2}}+\frac{n}{3}):(\frac{3}{n^{2}}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3})\)
Мы начинаем с преобразования данного выражения:
\( = \frac{\frac{9}{n^{2}}+\frac{n}{3}}{\frac{3}{n^{2}}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}}\)
Продолжаем упрощать выражение:
\( = \frac{(\frac{9}{n^{2}}+\frac{n}{3}) \cdot 3 n^{2}}{(\frac{3}{n^{2}}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}) \cdot 3 n^{2}}\)
Продолжаем упрощать:
\( = \frac{27+n^{3}}{9-3 n+n^{2}} = \frac{(3+n)(9-3 n+n^{2})}{9-3 n+n^{2}}\)
Замечаем, что выражение сокращается:
\( = 3+n \in \mathbb{N}\)
Таким образом, мы показали, что данное выражение принадлежит множеству натуральных чисел.