§ 3. Произведение и частное дробей — 8. Функция y=k/x и её график — 199 — стр. 51

Мы начинаем с приведения правой части равенства к общему знаменателю, чтобы сравнить числители и выразить коэффициенты \(a\) и \(b\). Получаем:
\(\frac{a}{x-5}+\frac{b}{x+2}=\frac{a(x+2)+b(x-5)}{(x-5)(x+2)}\)
Далее, сравниваем числители с обеих сторон уравнения:
\(5x+31=a(x+2)+b(x-5)\)
\(5x+31=(a+b)x+(2a-5b)\)
Из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях x получаем систему уравнений:
\(\begin{cases}a + b = 5 \\2a - 5b = 31\end{cases}\)
Решая эту систему методом исключения, мы находим значения \(a\) и \(b\):
\(\begin{cases}5a + 5b = 25 \\2a - 5b = 31 \end{cases}\)
\(7a = 56 \)
\(a = 8\)
\(b = 5 - a = -3\)
Таким образом, при \(a = 8\) и \(b = -3\) данное равенство становится тождеством.

Далее, мы проверяем полученный результат, преобразуя исходное уравнение с найденными значениями \(a\) и \(b\), и убеждаемся в его правильности.