Дополнительные упражнения к главе I — К параграфу 1 — 220 — стр. 57

Исходное выражение: \(\frac{b^{14}-b^{7}+1}{b^{21}+1}\).

Мы можем преобразовать знаменатель, выделив квадрат суммы в знаменателе:

\(\frac{b^{14}-b^{7}+1}{b^{21}+1} = \frac{b^{14}-b^{7}+1}{(b^{7}+1)(b^{14}-b^{7}+1)}\)

Теперь мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель:

\(\frac{b^{14}-b^{7}+1}{(b^{7}+1)(b^{14}-b^{7}+1)} = \frac{1}{b^{7}+1}\)

Таким образом, исходное выражение равно \(\frac{1}{b^{7}+1}\).

Исходное выражение: \(\frac{x^{33}-1}{x^{33}+x^{22}+x^{11}}\).

Мы можем разложить числитель на множители разности кубов:

\(\frac{x^{33}-1}{x^{33}+x^{22}+x^{11}} = \frac{(x^{11}-1)(x^{22}+x^{11}+1)}{x^{11}(x^{22}+x^{11}+1)}\)

Теперь мы можем сократить общий множитель:

\(\frac{(x^{11}-1)(x^{22}+x^{11}+1)}{x^{11}(x^{22}+x^{11}+1)} = \frac{x^{11}-1}{x^{11}}\)

Таким образом, исходное выражение равно \(\frac{x^{11}-1}{x^{11}}\).

Исходное выражение: \(\frac{x(y-z)-y(x-z)}{x(y-z)^{2}-y(x-z)^{2}}\).

Мы можем раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:

\(\frac{x(y-z)-y(x-z)}{x(y-z)^{2}-y(x-z)^{2}} = \frac{xy-xz-xy+yz}{xy^{2}-2xyz+xz^{2}-xy^{2}+2xyz-yz^{2}}= \frac{z(y-x)}{xy^{2}-2xy z+xz^{2}-xy^{2}+2xyz-yz^{2}}\)

Продолжим преобразование:

\(= \frac{z(y-x)}{xy(y-x)-z^{2}(y-x)} = \frac{z(y-x)}{(xy-z^{2})(y-x)}\)

Таким образом, исходное выражение равно \(\frac{z(y-x)}{(xy-z^{2})(y-x)} = \frac{z}{xy-z^{2}}\).

Исходное выражение: \(\frac{a(b+1)^{2}-b(a+1)^{2}}{a(b+1)-b(a+1)}\).

Мы можем раскрыть квадраты и привести подобные слагаемые:

\(\frac{a(b+1)^{2}-b(a+1)^{2}}{a(b+1)-b(a+1)} = \frac{a(b^{2}+2b+1)-b(a^{2}+2a+1)}{ab+a-ab-b}= \frac{ab^{2}+2ab+a-ab^{2}-2ab-b}{a-b}\)

Продолжим преобразование:

\(= \frac{ab(b-a)+a-b}{a-b} = \frac{(a-b)(1-ab)}{a-b} = 1-ab\)

Таким образом, исходное выражение равно \(1-ab\).