Докажите, что если правильная обыкновенная дробь \(\frac{a}{b}\) несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.
Допустим \(\frac{c}{d}\) дополняет \(\frac{a}{b}\) до единицы
В таком случае мы начинаем с уравнения:
\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = 1\)
Предполагается, что дробь \(\frac{c}{d}\) сократима, то есть её можно представить как \(\frac{ke}{kf}\), где \(\frac{e}{f}\) - несократимая дробь, а \(k\) - целое число, не равное \(0\) или \(1\).
После подстановки получаем:
\(\frac{a}{b} = 1 - \frac{c}{d} = 1 - \frac{ke}{kf} = \frac{kf - ke}{kf} = \frac{k(f - e)}{kf}\)
Но это приводит к выводу, что дробь \(\frac{a}{b}\) также сократима на \(k\), что противоречит исходному условию.
Из этого противоречия мы делаем вывод, что дробь \(\frac{c}{d}\) несократима.
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Докажите, что если правильная обыкновенная дробь \(\frac{a}{b}\) несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.