§ 4. Арифметический квадратный корень — 10. Действительные числа — 285 — стр. 70

\((1-\frac{3 x^{2}}{1-x^{2}}):(\frac{x}{x+1}+1)=\)

\(=\frac{1-x^{2}-3 x^{2}}{1-x^{2}}: \frac{x+x+1}{x+1}=\)

\(=\frac{1-4 x^{2}}{1-x^{2}} \cdot \frac{x+1}{2 x+1}=\)

\(=\frac{4 x^{2}-1}{x^{2}-1} \cdot \frac{x+1}{2 x+1}=\)

\(=\frac{(2 x-1)(2 x+1)}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x+1}{2 x+1}=\)

\(=\frac{2 x-1}{x-1}\)

В данном решении шаг за шагом применяются алгебраические операции, чтобы выразить данное выражение в наиболее простом виде. В результате мы получаем \(\frac{2x-1}{x-1}\).

\((\frac{a+b}{b}-\frac{a}{a+b}):(\frac{a+b}{a}-\frac{b}{a+b})=\)

\(=\frac{(a+b)^{2}-a b}{b(a+b)}: \frac{(a+b)^{2}-a b}{a(a+b)}=\)

\(=\frac{(a+b)^{2}-a b}{b(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{(a+b)^{2}-a b}=\)

\(=\frac{a}{b}\)

Этот пример также решается путем применения операций над дробями. В итоге мы получаем \(\frac{a}{b}\).

\(\frac{3 a^{2}-a+3}{a^{3}-1}-\frac{a-1}{a^{2}+a+1}+\frac{2}{1-a}=\)

\(=\frac{3 a^{2}-a+3}{(a-1)(a^{2}+a+1)}-\frac{a-1}{a^{2}+a+1}-\frac{2}{a-1}=\)

\(=\frac{3 a^{2}-a+3-(a-1)^{2}-2(a^{2}+a+1)}{(a-1)(a^{2}+a+1)}=\)

\(=\frac{3 a^{2}-a+3-a^{2}+2 a-1-2 a^{2}-2 a-2}{(a-1)(a^{2}+a+1)}=\)

\(=-\frac{a}{a^{3}-1}=\)

\(=\frac{a}{1-a^{3}}\)

Данное выражение было упрощено до \(\frac{a}{1-a^{3}}\).

\((\frac{2 b}{1-b}-b): \frac{3 b+3}{b-1}=\)

\(=\frac{2 b-b(1-b)}{1-b} \cdot \frac{b-1}{3(b+1)}=\)

\(=\frac{b+b^{2}}{-(b-1)} \cdot \frac{b-1}{3(b+1)}=\)

\(=-\frac{b(1+b)}{3(b+1)}=\)

\(=-\frac{b}{3}\)

Здесь, выражение было упрощено до \(-\frac{b}{3}\).

\((a-x+\frac{x^{2}}{a+x}) \cdot \frac{a-x}{a}=\)

\(=\frac{(a-x)(a+x)+x^{2}}{a+x} \cdot \frac{a-x}{a}=\)

\(=\frac{a^{2}-x^{2}+x^{2}}{a+x} \cdot \frac{a-x}{a}=\)

\(=\frac{a^{2}}{a+x} \cdot \frac{a-x}{a}=\)

\(=\frac{a(a-x)}{a+x}\)

Здесь, после ряда алгебраических манипуляций, получается \(\frac{a(a-x)}{a+x}\).