§ 6. Применение свойств арифметического квадратного корня — 17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня — 410 — стр. 97

Итак, давайте проанализируем каждое из равенств:
1) \(\sqrt{2 \frac{2}{3}}\) и \(2 \sqrt{\frac{2}{3}}:\) Раскрываем корни: \(\sqrt{2 \frac{2}{3}}\) и \(\sqrt{4 \cdot \frac{2}{3}}\), что приводит к \(\sqrt{\frac{8}{3}}\) в обоих случаях. Это равенство истинно.

2) \(\sqrt{3 \frac{3}{8}}\) и \(3 \sqrt{\frac{3}{8}}:\) Раскрываем корни: \(\sqrt{3 \frac{3}{8}}\) и \(\sqrt{9 \cdot \frac{3}{8}}\), что приводит к \(\sqrt{\frac{27}{8}}\) в обоих случаях. Это равенство также истинно.

3) \(\sqrt{4 \frac{4}{15}}\) и \(4 \sqrt{\frac{4}{15}}:\) Раскрываем корни: \(\sqrt{4 \frac{4}{15}}\) и \(\sqrt{16 \cdot \frac{4}{15}}\), что дает \(\sqrt{\frac{64}{15}}\) в обоих случаях. Это равенство также верно.

Следовательно, все равенства являются истинными.

Теперь мы рассмотрим отношение между числами \(a\) и \(b:\)
\(\sqrt{a+\frac{a}{b}} = a \sqrt{\frac{a}{b}}\)
\((\sqrt{a+\frac{a}{b}})^{2} = (a \sqrt{\frac{a}{b}})^{2}\)
\(a+\frac{a}{b} = a^{2} \frac{a}{b} \\a = \frac{a^{3}-a}{b}\)
\(frac{a^{3}-a}{a} = \frac{a(a^{2}-1)}{a} = a^{2}-1\)
Таким образом, если \(b=a^{2}-1\), то \(\sqrt{a+\frac{a}{b}}=a \sqrt{\frac{a}{b}}\).

Это утверждение мы можем продемонстрировать на следующих примерах:
1) \(\sqrt{5 \frac{5}{24}}\) и \(5 \sqrt{\frac{5}{24}}:\) Здесь \(a=5\) и \(b=a^{2}-1=5^2-1=24\). Утверждение о равенстве истинно.

2) \(\sqrt{6 \frac{6}{35}}\) и \(6 \sqrt{\frac{6}{35}}:\) Также \(a=6\) и \(b=a^{2}-1=6^2-1=35\). Это утверждение также истинно.

3) \(\sqrt{7 \frac{7}{48}}\) и \(7 \sqrt{\frac{7}{48}}:\) И снова, \(a=7\) и \(b=a^{2}-1=7^2-1=48\). Утверждение верно и здесь.