Освободитесь от внешнего радикала в выражении:
а) \(\sqrt{a+2 \sqrt{a-1}}\), если \(a \geq 1 ;\)
б) \(\sqrt{a+b+1+2 \sqrt{a+b}}-\sqrt{a+b+1-2 \sqrt{a+b}}\), если \(a+b \geq 1\).
Начнем с данного выражения:
\(\sqrt{a+2 \sqrt{a-1}}\)
Мы видим, что его можно переписать следующим образом:
\(\sqrt{(a-1)+2 \sqrt{a-1}+1}\)
Это позволяет нам выразить корень как квадратный корень квадрата:
\(\sqrt{(\sqrt{a-1}+1)^{2}}\)
Теперь мы можем выразить его как модуль:
\(|\sqrt{a-1}+1|\)
Поскольку \(a \geq 1\), корень существует, и \(|\sqrt{a-1}+1|=\sqrt{a-1}+1\).
Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(\sqrt{a+b+1+2 \sqrt{a+b}}-\sqrt{a+b+1-2 \sqrt{a+b}}\)
Раскроем его:
\(\sqrt{(\sqrt{a+b}+1)^{2}}-\sqrt{(\sqrt{a+b}-1)^{2}}\)
Теперь выразим корни как модули:
\(|\sqrt{a+b}+1|-|\sqrt{a+b}-1|\)
Поскольку \(a+b \geq 1\), корень существует, и \(|\sqrt{a+b}+1|=\sqrt{a+b}+1\), \(|\sqrt{a+b}-1|=\sqrt{a+b}-1\).
Итак, получаем:
\(\sqrt{a+b}+1-(\sqrt{a+b}-1)=2\).
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Освободитесь от внешнего радикала в выражении: а) \(\sqrt{a+2 \sqrt{a-1}}\), если \(a \geq 1 ;\) б) \(\sqrt{a+b+1+2 \sqrt{a+b}}-\sqrt{a+b+1-2 \sqrt{a+b}}\), если \(a+b \geq 1\).