Может ли:
a) сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом;
б) произведение рационального и иррационального чисел быть рациональным числом?
Да. В данном случае, \( a = 2 + \sqrt{3} \) и \( b = 2 - \sqrt{3} \), их сумма \( a + b = 4 \). Это пример, подтверждающий, что сумма рационального числа \( a \) и его сопряжённого иррационального числа \( b \) дает рациональное число. Это потому что \( a \) и \( b \) являются сопряжёнными числами, и их сумма обращает иррациональные части друг друга.
Нет. Предположим, что \( a = \frac{m}{n} \) - рациональное число, где \( m \in \mathbb{Z} \) и \( n \in \mathbb{N} \), а \( b \) - иррациональное число, не представимое в виде дроби. Тогда их произведение \( a \cdot b = \frac{m}{n} \cdot b \) также будет не представимо в виде дроби и, следовательно, будет иррациональным. Это подтверждает, что произведение рационального числа на иррациональное число даст иррациональное число.
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
Может ли: a) сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом; б) произведение рационального и иррационального чисел быть рациональным числом?