§ 9. Дробные рациональные уравнения — 26. Решение дробных рациональных уравнений — 633 — стр. 148

Рассмотрим уравнение \(\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=\frac{7 x}{x^{2}+1}\).

Перенесем в левую часть:

\(\frac{x^{2}}{x^{2}+1}-\frac{7 x}{x^{2}+1}=0\)

\(\frac{x^{2}-7 x}{x^{2}+1}=0\)

Теперь решим уравнение, учитывая, что знаменатель не равен нулю:

\(\begin{cases}x^{2}-7 x=0 \\ x^{2}+1 \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x(x-7)=0 \\ x \in \mathbb{R}\end{cases} \Rightarrow x_{1}=0, x_{2}=7\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{y^{2}}{y^{2}-6 y}=\frac{4(3-2 y)}{y(6-y)}\).

Перенесем в левую часть:

\(\frac{y^{2}}{y^{2}-6 y}-\frac{4(3-2 y)}{y(6-y)}=0\)

\(\frac{y^{2}}{y(y-6)}+\frac{4(3-2 y)}{y(y-6)}=0\)

\(\frac{y^{2}+4(3-2 y)}{y(y-6)}=0\)

\(\frac{y^{2}-8 y+12}{y(y-6)}=0\)

Теперь решим уравнение, учитывая, что знаменатель не равен нулю:

\(\begin{cases}y^{2}-8 y+12=0 \\ y(y-6) \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(y-2)(y-6)=0 \\ y \neq\{0 ; 6\}\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}y_{1}=2, y_{2}=6 \\ y \neq\{0 ; 6\}\end{cases} \Rightarrow y=2\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{x-2}{x+2}=\frac{x+3}{x-4}\).

Перенесем в левую часть:

\(\frac{x-2}{x+2}-\frac{x+3}{x-4}=0\)

\(\frac{(x-2)(x-4)-(x+3)(x+2)}{(x+2)(x-4)}=0\)

\(\frac{x^{2}-6 x+8-(x^{2}+5 x+6)}{(x+2)(x-4)}=0\)

\(\frac{-11 x+2}{(x+2)(x-4)}=0\)

Теперь решим уравнение, учитывая, что знаменатель не равен нулю:

\(\begin{cases}-11 x+2=0 \\ (x+2)(x-4) \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=\frac{2}{11} \\ x \neq\{-2 ; 4\}\end{cases} \Rightarrow x=\frac{2}{11}\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{8 y-5}{y}=\frac{9 y}{y+2}\).

Перенесем в левую часть:

\(\frac{8 y-5}{y}-\frac{9 y}{y+2}=0\)

\(\frac{(8 y-5)(y+2)-y \cdot 9 y}{y(y+2)}=0\)

\(\frac{8 y^{2}+11 y-10-9 y^{2}}{y(y+2)}=0\)

\(\frac{-y^{2}+11 y-10}{y(y+2)}=0\)

Теперь решим уравнение, учитывая, что знаменатель не равен нулю:

\(\begin{cases}-y^{2}+11 y-10=0 \\ y(y+2) \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}y^{2}-11 y+10=0 \\ y \neq\{-2 ; 0\}\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(y-1)(y-10)=0 \\ y \neq\{-2 ; 0\}\end{cases} \Rightarrow\)

\(\begin{cases}y_{1}=1, y_{2}=10 \\ y \neq\{-2 ; 0\}\end{cases} \Rightarrow y_{1}=1, y_{2}=10\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{x^{2}+3}{x^{2}+1}=2\).

Перенесем в левую часть:

\(\frac{x^{2}+3}{x^{2}+1}-2=0\)

\(\frac{x^{2}+3-2(x^{2}+1)}{x^{2}+1}=0\)

\(\frac{-x^{2}+1}{x^{2}+1}=0\)

Теперь решим уравнение, учитывая, что знаменатель не равен нулю:

\(\begin{cases}-x^{2}+1=0 \\ x^{2}+1 \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x^{2}-1=0 \\ x \in \mathbb{R}\end{cases} \Rightarrow x_{1,2}= \pm 1\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{3}{x^{2}+2}=\frac{1}{x}\).

Перенесем в левую часть:

\(\frac{3}{x^{2}+2}-\frac{1}{x}=0\)

\(\frac{3 x-(x^{2}+2)}{x(x^{2}+2)}=0\)

\(\frac{-x^{2}+3 x-2}{x(x^{2}+2)}=0\)

Теперь решим уравнение, учитывая, что знаменатель не равен нулю:

\(\begin{cases}-x^{2}+3 x-2=0 \\ x(x^{2}+2) \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x^{2}-3 x+2=0 \\ x \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(x-1)(x-2)=0 \\ x \neq 0\end{cases} \Rightarrow\)

\(\begin{cases}x_{1}=1, x_{2}=2 \\ x \neq 0\end{cases} \Rightarrow x_{1}=1, x_{2}=2\).

Рассмотрим уравнение \(x+2=\frac{15}{4 x+1}\).

Перенесем в левую часть:

\(x+2-\frac{15}{4 x+1}=0\)

\(\frac{(x+2)(4 x+1)-15}{4 x+1}=0\)

\(\frac{4 x^{2}+9 x-13}{4 x+1}=0\)

Теперь решим уравнение, учитывая, что знаменатель не равен нулю:

\(\begin{cases}4 x^{2}+9 x-13=0 \\ 4 x+1 \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(4 x+13)(x-1)=0 \\ x \neq-\frac{1}{4}\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x_{1}=-3 \frac{1}{4}, x_{2}=1 \\ x \neq-\frac{1}{4}\end{cases} \Rightarrow\)

\(\Rightarrow x_{1}=-3 \frac{1}{4}, x_{2}=1\).

Рассмотрим уравнение \(\frac{x^{2}-5}{x-1}=\frac{7 x+10}{9}\).

Перенесем в левую часть:

\(\frac{x^{2}-5}{x-1}-\frac{7 x+10}{9}=0\)

\(\frac{9(x^{2}-5)-(7 x+10)(x-1)}{9(x-1)}=0\)

\(\frac{9 x^{2}-45-(7 x^{2}+3 x-10)}{9(x-1)}=0\)

\(\frac{2 x^{2}-3 x-35}{9(x-1)}=0\)

Теперь решим уравнение, учитывая, что знаменатель не равен нулю:

\(\begin{cases}2 x^{2}-3 x-35=0 \\ 9(x-1) \neq 0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}(2 x+7)(x-5)=0 \\ x \neq 1\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x_{1}=-3,5, x_{2}=5 \\ x \neq 1\end{cases} \Rightarrow\)

\(\Rightarrow x_1=-3,5, x_2=5\).