§ 10. Уравнения с двумя переменными и их системы — 29. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными — 689 — стр. 162

Рассмотрим систему уравнений:

$\{\begin{array}{l}3x-y=5\\ 3x+2y=8\end{array}$

Решая её, получаем:

$\{\begin{array}{l}y=3x-5\\ y=\frac{-3x+8}{2}\end{array}$

Приведем уравнения к одному виду:

$\{\begin{array}{l}y=3x-5\\ y=-1.5x+4\end{array}$

Найдем наклоны прямых:

$k_1=3,k_2=-1.5$

Так как наклоны не равны, прямые пересекаются, система имеет единственное решение.

Рассмотрим систему:

$\{\begin{array}{l}2y-x=4\\ y-2x=0\end{array}$

Решим её:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{x+4}{2}\\ y=2x\end{array}$

Приведем уравнения к одному виду:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+2\\ y=2x\end{array}$

Найдем наклоны прямых:

$k_1=\frac{1}{2},k_2=2$

Так как наклоны не равны, прямые пересекаются, система имеет единственное решение.

Рассмотрим систему:

$\{\begin{array}{l}y=0.5x+2\\ y=0.5x-4\end{array}$

Наклоны прямых совпадают: $k_1=k_2=0.5$, но их свободные коэффициенты различны ($b_1=2$, $b_2=-4$). Таким образом, прямые параллельны и система не имеет решений.