§ 10. Уравнения с двумя переменными и их системы — 31. Алгебраический способ решения систем уравнений — 711 — стр. 168

\(\begin{cases}x-y=5 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=y+5 \\ \frac{1}{y+5}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\end{cases}\)

\(\frac{y+y+5}{y(y+5)}=\frac{1}{6} \Rightarrow\begin{cases}6(2 y+5)=y(y+5) \\ y \neq\{-5 ; 0\}\end{cases}\)

\(12 y+30=y^2+5 y \Rightarrow y^2-7 y-30=0 \Rightarrow\\ \Rightarrow(y+3)(y-10)=0 \Rightarrow\begin{cases}y=-3 \\ y=10\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=y+5 \\ \begin{cases}y=-3 \\ y=10\end{cases}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\begin{cases}x=-3+5=2 \\ y=-3\end{cases}\\\begin{cases}x=10+5=15 \\ y=10\end{cases}\end{cases}\)

\(\{(2 ;-3),(15 ; 10)\}\).

\(\begin{cases}x+y=6 \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x=6-y \\ \frac{1}{6-y}-\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\end{cases}\)

\(\frac{y-(6-y)}{y(6-y)}=\frac{1}{4} \Rightarrow\begin{cases}4(2 y-6)=y(6-y) \\ y \neq\{0 ; 6\}\end{cases}\)

\(8 y-24=6 y-y^2 \Rightarrow y^2+2 y-24=0 \Rightarrow\\ \Rightarrow(y+6)(y-4)=0 \Rightarrow\begin{cases}y=-6 \\ y=4\end{cases} \)

\(\begin{cases}x=6-y \\ \begin{cases}y=-6 \\ y=4\end{cases} \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=6+6=12 \\ y=-6\end{cases} \\ \begin{cases}x=6-4=2 \\ y=4\end{cases}\end{cases}\)

\( \{(12 ;-6),(2 ; 4)\}\).

\(\begin{cases}3 x+y=1 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-2,5\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}y=1-3 x \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{1-3 x}=-2,5\end{cases}\)

\(\frac{1-3x+x}{x(1-3x)} =-2.5 \Rightarrow\begin{cases}1-2 x=-2,5 x(1-3 x) \\ x \neq\{0 ; \frac{1}{3}\end{cases} \)

\(1-2 x=-2,5 x+7,5 x^2 \Rightarrow7,5 x^2-0,5 x-1=0 \mid \times 2 \Rightarrow\\ \Rightarrow15 x^2-x-2=0 \Rightarrow(3 x+1)(5 x-2)=0 \Rightarrow\begin{cases}x=-\frac{1}{3} \\ x=\frac{2}{5}\end{cases} \)

\(\begin{cases}\begin{cases}x=-\frac{1}{3} \\ x=\frac{2}{5}\end{cases} \\ y=1-3 x\end{cases}\begin{cases}\begin{cases}x=-\frac{1}{3} \\ y=1-3 \cdot(-\frac{1}{3})=2\end{cases} \\ \begin{cases}x=\frac{2}{5} \\ y=1-3 \cdot \frac{2}{5}=-\frac{1}{5}\end{cases}\end{cases} \)

\(\{(-\frac{1}{3} ; 2),(\frac{2}{5} ;-\frac{1}{5})\}\).

\(\begin{cases}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{3} \\ x-2 y=2\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}\frac{1}{y}-\frac{1}{2 y+2}=\frac{1}{3} \\ x=2 y+2\end{cases} \)

\(\frac{2 y+2-y}{y(2 y+2)}=\frac{1}{3} \Rightarrow\begin{cases}3(y+2)=y(2 y+2) \\ y \neq\{-1 ; 0\}\end{cases}\)

\( 3 y+6=2 y^2+2 y \Rightarrow2 y^2-y-6=0 \Rightarrow\)

\( \Rightarrow(y-2)(2 y+3)=0 \Rightarrow\begin{cases}y=-1,5 \\ y=2\end{cases} \\ \begin{cases}x=2 y+2 \\ \begin{cases}y=-1,5 \\ y=2\end{cases}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=-3+2=-1 \\ y=-1,5\end{cases}\\ \begin{cases}x=4+2=6 \\ y=2\end{cases}\end{cases}\)

\(\{(-1 ;-1,5),(6 ; 2)\}\).