§ 10. Уравнения с двумя переменными и их системы — 31. Алгебраический способ решения систем уравнений — 718 — стр. 169

Парабола $y=-x^2-2x+168$

Вершина параболы:

- Уравнение параболы: $y=-x^2-2x+168$.

- Преобразуем выражение, завершая квадрат:

$-(x^2+2x-168)=-(x^2+2x+1-169)=-(x+1{)}^2+169$.

- Вершина в точке $(-1,169)$, ось симметрии $x=-1$.

Точки пересечения с осью $Ox$:

- Решаем $-x^2-2x+168=0$:

$x^2+2x-168=0\Rightarrow (x+14)(x-12)=0\Rightarrow x=-14;12$.

- Парабола положительна при $-14<x<12$.

Парабола $y=15x^2+x-2$

Вершина параболы:

- Уравнение параболы: $y=15x^2+x-2$.

- Завершаем квадрат, получаем:

$15x^2+x-2=\frac{1}{15}(225x^2+15x-30)=$

$=\frac{1}{15}((15x{)}^2+2\cdot 15x\cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2}{)}^2-30.25)=$

$=\frac{1}{15}(15x+\frac{1}{2}{)}^2-2\frac{1}{60}$.

- Вершина в $(-\frac{1}{30},-2\frac{1}{60})$, ось симметрии $x=-\frac{1}{30}$.

Точки пересечения с $Ox$:

- Решаем $15x^2+x-2=0$:

$(5x+2)(3x-1)=0\Rightarrow x=-\frac{2}{5},\frac{1}{3}$.

- Парабола отрицательна при $-\frac{2}{5}<x<\frac{1}{3}$.

Гипербола $y=\frac{x+14}{3-2x}$

Преобразование гиперболы:

- Разложим:

$\frac{x+14}{3-2x}=\frac{(x-1.5)+15.5}{-2(x-1.5)}=-\frac{1}{2}-\frac{15.5}{2(x-1.5)}=-0.5-\frac{7.75}{x-1.5}$.

- Гипербола с асимптотами $y=-0.5$ и $x=1.5$.

- Пересечение с $Ox$: $\frac{x+14}{3-2x}=0\Rightarrow x=-14$.

- Отрицательные значения на левой ветке ($x<-14$) и на правой ($x>1.5$).

Гипербола $y=\frac{6-5x}{x+25}$

Преобразование гиперболы:

- Разложим:

$\frac{6-5x}{x+25}=\frac{-5x-125+131}{x+25}=\frac{-5(x+25)+131}{x+25}=\frac{131}{x+25}-5$.

- Гипербола с асимптотами $y=-5$ и $x=-25$.

- Пересечение с $Ox$: $\frac{6-5x}{x+25}=0\Rightarrow x=\frac{6}{5}=1.2$.

- Левая ветка вся отрицательная.

- Положительные значения на интервале $-25<x<1.2$.