Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 7 — 762 — стр. 176

Мы начинаем с того, что \(\{n, n+1\}\) - искомые числа.

По условию задачи, у нас есть следующее равенство:
\((n+1)^{3} - n^{3} = 919\)
Это равенство мы можем преобразовать следующим образом:
\((n+1-n)((n+1)^{2} + n(n+1) + n^{2}) = 919\)
Это шаг, где мы используем разность кубов. Мы раскрываем квадратные скобки и получаем:
\(n^{2} + 2n + 1 + n^{2} + n + n^{2} = 919\)
Далее, мы приводим подобные и преобразуем уравнение:
\(3n^{2} + 3n - 918 = 0\)
И, наконец, мы решаем квадратное уравнение:
\(n^{2} + n - 306 = 0\)
Факторизуя его, мы находим корни:
\((n+18)(n-17) = 0\)
Отсюда следует, что \(n = -18\) или \(n = 17\). Поскольку нам нужно найти натуральное число, мы отбрасываем отрицательное решение и оставляем \(n = 17\).

Таким образом, получаем, что \(n = 17\).