Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 7 — 765 — стр. 177

Рассмотрим уравнение $2x^2+bx-10=0$ с корнем $x_1=5$.

Используя теорему Виета, мы можем записать систему уравнений для второго корня $x_2:$

$\{\begin{array}{l}5+x_2=-\frac{b}{2}\\ 5x_2=-\frac{10}{2}\end{array}$

Решая эту систему, мы находим $x_2=-1$. Подставляя $x_1$ и $x_2$ обратно в уравнение, мы находим параметр $b=-8$. Таким образом, исходное уравнение имеет вид $2x^2-8x-10=0$, и его корни $x_1=5$ и $x_2=-1$.

Рассмотрим уравнение $3x^2+bx+24=0$ с корнем $x_1=3$.

Используя теорему Виета, мы записываем систему уравнений для второго корня $x_2:$

$\{\begin{array}{l}3+x_2=-\frac{b}{3}\\ 3x_2=\frac{24}{3}\end{array}$

Решая эту систему, мы находим $x_2=2\frac{2}{3}$. Подставляя $x_1$ и $x_2$ обратно в уравнение, мы находим параметр $b=-17$. Таким образом, исходное уравнение имеет вид $3x^2-17x+24=0$, и его корни $x_1=3$ и $x_2=2\frac{2}{3}$.

Рассмотрим уравнение $(b-1)x^2-(b+1)x=72$ с корнем $x_1=3$.

Подставим корень в уравнение и решим для параметра $b:$

$$\begin{gathered} 9(b-1)-3(b+1)=72 \\ 6b=84 \\ b=14 \end{gathered}$$

Таким образом, уравнение принимает вид $13x^2-15x-72=0$. По теореме Виета, мы находим второй корень $x_2=-1\frac{11}{13}$.

Рассмотрим уравнение $(b-5)x^2-(b-2)x+b=0$ с корнем $x_1=\frac{1}{2}$.

Подставим корень в уравнение и решим для параметра $b:$

$$\begin{gathered} \frac{1}{4}(b-5)-\frac{1}{2}(b-2)+b=0 \\ 3b=1 \\ b=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Таким образом, уравнение принимает вид $-\frac{14}{3}{x}^2+\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}=0$, и его второй корень $x_2=-\frac{1}{7}$.