Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 7 — 767 — стр. 177

Мы рассматриваем уравнение \(12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0\) и ищем условия на параметр \(a\).

Для начала мы вычисляем дискриминант:
\(D = 35^2 - 12(a^2 + 1) = 1213 - 12a^2\)
Здесь мы видим, что дискриминант может быть и отрицательным. Если \(D\) отрицателен, уравнение вообще не имеет корней, в том числе и положительных.

Теперь рассмотрим случай, когда \(D \geq 0\). Если корни существуют, их сумма равна \(x_1 + x_2 = -\frac{70}{12} < 0\), что является отрицательным значением.

Далее мы анализируем произведение корней \(x_1x_2 = \frac{a^2 + 1}{12} > 0\), что положительно, что означает, что корни уравнения имеют одинаковый знак.

Исходя из этого, мы делаем вывод, что два числа одного знака, сумма которых отрицательна, могут быть только отрицательными.

Таким образом, утверждение о том, что корни уравнения отрицательны, доказано.