Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 7 — 769 — стр. 177

Мы имеем систему уравнений, состоящую из условия разности корней и теоремы Виета. Это позволяет нам выразить \(b\) в виде:
Система уравнений:
\(\begin{cases}
x_{2} - x_{1} = 4\frac{1}{3} \\x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{3} \\x_{1} x_{2} = \frac{10}{3}
\end{cases}\)
Мы используем эти уравнения для выражения \(x_{1}\) и \(x_{2}\) через \(b:\)
\(\begin{cases}
2x_{2} = \frac{13}{3} - \frac{b}{3} = \frac{13-b}{3} \\2x_{1} =-\frac{b}{3} -\frac{13}{3}= -\frac{13+b}{3} \\x_{1} x_{2} = \frac{10}{3}\end{cases}\)
Далее, мы используем теорему Виета для выражения произведения корней через \(b:\)
\(x_{1} x_{2} = -\frac{13+b}{6} \cdot \frac{13-b}{6} = -\frac{169-b^{2}}{36} = \frac{10}{3}\)
Это приводит к уравнению \(b^{2} - 169 = 120\), и после решения получаем \(b^{2} = 289\), что дает два значения \(b_{1,2} = \pm 17\).

Таким образом, ответ состоит из двух значений \(\pm 17\).