Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 7 — 769 — стр. 177

Мы имеем систему уравнений, состоящую из условия разности корней и теоремы Виета. Это позволяет нам выразить $b$ в виде:
Система уравнений:
$\{\begin{array}{l}{x}_2-x_1=4\frac{1}{3}\\ x_1+x_2=-\frac{b}{3}\\ x_1{x}_2=\frac{10}{3}\end{array}$
Мы используем эти уравнения для выражения $x_1$ и $x_2$ через $b:$
$\{\begin{array}{l}2x_2=\frac{13}{3}-\frac{b}{3}=\frac{13-b}{3}\\ 2x_1=-\frac{b}{3}-\frac{13}{3}=-\frac{13+b}{3}\\ x_1{x}_2=\frac{10}{3}\end{array}$
Далее, мы используем теорему Виета для выражения произведения корней через $b:$
$x_1{x}_2=-\frac{13+b}{6}\cdot \frac{13-b}{6}=-\frac{169-b^2}{36}=\frac{10}{3}$
Это приводит к уравнению $b^2-169=120$, и после решения получаем $b^2=289$, что дает два значения $b_{1,2}=\pm 17$.

Таким образом, ответ состоит из двух значений $\pm 17$.