Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 8 — 797 — стр. 179

\(\frac{x+4}{x-1}-\frac{37 x-12}{4 x^2-3 x-1}=\frac{x-4}{x-1}-\frac{37 x-12}{4(x-1)(x+\frac{1}{4})}\)

У нас есть дробь, в которой числитель и знаменатель разные. Мы приводим её к общему знаменателю и раскрываем скобки:

\(=\frac{(x+4)(4 x+1)-37 x+12}{(x-1)(4 x+1)}\)

Теперь упрощаем числитель:

\(=\frac{4 x^2+16 x+x+4-37 x+12}{(x-1)(4 x+1)}=\frac{4 x^2-20 x+16}{(x-1)(4 x+1)}\)

Далее выносим общий множитель из числителя и знаменателя:

\(=\frac{4(x^2-5 x+4)}{4(x-1)(x+\frac{1}{4})}=\frac{(x-1)(x-4)}{(x-1)(x+\frac{1}{4})}\)

И, наконец, сокращаем общие множители:

\(=\frac{x-4}{x+\frac{1}{4}}\).

\(\frac{x-1}{x+2}-\frac{1-x}{x^2+3 x+2}=\frac{x-1}{x+2}-\frac{1-x}{(x+1)(x+2)}\)

Переводим дроби к общему знаменателю:

\(=\frac{(x-1)(x+1)-1+x}{(x+1)(x+2)}=\frac{x^2-1-1+x}{(x+1)(x+2)}=\frac{x^2+x-2}{(x+1)(x+2)}\)

Упрощаем:

\(=\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)}=\frac{x-1}{x+1}\).

\(\frac{7 x-x^2}{x+4} \cdot \frac{x^2-x-20}{7-x}=\frac{x(7-x) \cdot(x-5)(x+4)}{(x+4)(7-x)}=x(x-5)=x^2-5 x\).

\(\frac{x^2+11 x+30}{3 x-15}: \frac{x+5}{x-5}=\frac{(x+5)(x+6) \cdot(x-5)}{3(x-5)(x+5)}=\frac{x+6}{3}\).

\(\frac{2 x^2-7}{x^2-3 x-4}-\frac{x+1}{x-4}=\frac{2 x^2-7}{(x-4)(x+1)}-\frac{x+1}{x-4}\)

Приводим к общему знаменателю:

\(=\frac{2 x^2-7-(x+1)^2}{(x-4)(x+1)}=\frac{2 x^2-7-x^2-2 x-1}{(x-4)(x+1)}=\frac{x^2-2 x-8}{(x-4)(x+1)}\)

Упрощаем и сокращаем:

\(=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-4)(x+1)}=\frac{x+2}{x+1}\).

\(\frac{2+x-x^2}{2-5 x+3 x^2}+\frac{10 x}{3 x-2}=\frac{2+x-x^2}{3(x-1)(x-\frac{2}{3})}+\frac{10 x}{3 x-2}\)

Приводим дроби к общему знаменателю:

\(=\frac{2+x-x^2+10 x(x-1)}{(x-1)(3 x-2)}=\frac{2+x-x^2+10 x^2-10 x}{(x-1)(3 x-2)}\)

Упрощаем:

\(=\frac{9 x^2-9 x+2}{(x-1)(3 x-2)}=\frac{9(x-\frac{1}{3})(x-\frac{2}{3})}{(x-1)(3 x-2)}=\frac{(3 x-1)(3 x-2)}{(x-1)(3x-2)}=\frac{3x-1}{x-1}\).