Дополнительные упражнения к главе III — К параграфу 9 — 804 — стр. 180

Рассмотрим уравнение:

$\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{3(2x-1)}{7(2x+1)}+\frac{8}{1-4x^2}=0$

Первым шагом приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{3(2x-1)}{7(2x+1)}-\frac{8}{(2x-1)(2x+1)}=0$

Убеждаемся, что исключаем нулевые знаменатели: $2x-1\ne 0$ и $2x+1\ne 0$, отсюда $x\ne 0.5,-0.5$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$(2x+1)\cdot 7(2x+1)-3(2x-1)(2x-1)-8\cdot 7=0$

Развернем скобки и приведем подобные члены:

$7(4x^2+4x+1)-3(4x^2-4x+1)-56=0$

$28x^2+28x+7-12x^2+12x-3-56=0$

$16x^2+40x-52=0$

$4x^2+10x-13=0$

Найдем дискриминант:

$D={10}^2-4\cdot 4\cdot (-13)=100+208=308$

Найдем корни уравнения:

$x=\frac{-10\pm \sqrt{308}}{2\cdot 4}=\frac{-10\pm \sqrt{4\cdot 77}}{8}=\frac{-10\pm 2\sqrt{77}}{8}=\frac{-5\pm \sqrt{77}}{4}$

Таким образом, решение уравнения: $x_1=\frac{-5+\sqrt{77}}{4}$ и $x_2=\frac{-5-\sqrt{77}}{4}$.

Ответ: $x_1=\frac{-5+\sqrt{77}}{4}$, $x_2=\frac{-5-\sqrt{77}}{4}$.

Рассмотрим уравнение:

$\frac{y}{y^2-9}-\frac{1}{y^2+3y}+\frac{3}{6y+2y^2}=0$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{y}{(y-3)(y+3)}-\frac{1}{y(y+3)}+\frac{3}{2y(3+y)}=0$

Убеждаемся, что исключаем нулевые знаменатели: $y\ne 3,-3$.

Приведем уравнение к общему знаменателю и приведем подобные члены:

$y\cdot 2y-1\cdot 2(y-3)+3(y-3)=0$

$2y^2-2y+6+3y-9=0$

$2y^2+y-3=0$

Вычислим дискриминант:

$D=1^2-4\cdot 2\cdot (-3)=1+24=25$

Найдем корни уравнения:

$y=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{-1\pm 5}{4}$

Таким образом, решение уравнения: $y_1=1$, $y_2=\frac{-6}{4}=-1.5$.

Ответ: $y_1=1$, $y_2=-1.5$.

$\frac{2y-1}{14y^2+7y}+\frac{8}{12y^2-3}=\frac{2y+1}{6y^2-3y}$

Приведение к общему знаменателю:

$\frac{2y-1}{7y(2y+1)}+\frac{8}{3(4y^2-1)}=\frac{2y+1}{3y(2y-1)}$

Установка условий для $y$:

$y\ne 0;y\ne -0.5;y\ne 0.5$

Умножение обеих сторон на общий знаменатель:

$(2y-1)\cdot 3(2y-1)+8\cdot 7y=(2y+1)\cdot 7(2y+1)$

Решение квадратного уравнения:

$-16y^2+16y-4=0$

$4y^2-4y+1=0$

$(2y-1{)}^2=0$

$2y-1=0$

$2y=1$

$y=\frac{1}{2}$

$y=0.5$ не является решением.

Ответ: Нет корней.

Исходное уравнение:

$\frac{3}{x^2-9}-\frac{1}{9-6x+x^2}=\frac{3}{2x^2+6x}$

Приведение к общему знаменателю:

$\frac{3}{(x-3)(x+3)}-\frac{1}{(3-x{)}^2}=\frac{3}{2x(x+3)}$

Установка условий для $x$:

$x\ne 3,x\ne -3,x\ne 0$

Умножение обеих сторон на общий знаменатель:

$3\cdot 2x(x-3)-1\cdot 2x(x+3)=3(x-3{)}^2$

Решение квадратного уравнения:

$x^2-6x-27=0$

По теореме Виета:

$x_1=9,x_2=-3$

$x=-3$ не является решением.

Ответ: 9.

Исходное уравнение:

$\frac{9x+12}{x^3-64}-\frac{1}{x^2+4x+16}=\frac{1}{x-4}$

Приведение к общему знаменателю:

$\frac{9x+12}{(x-4)(x^2+4x+16)}-\frac{1}{x^2+4x+16}=\frac{1}{x-4}$

Установка условий для $x$:

$x\ne 4$

Проверка дискриминанта:

$D=4^2-4\cdot 1\cdot 16=16-64<0$

Умножение обеих сторон на общий знаменатель:

$(9x+12)-1\cdot (x-4)=1\cdot (x^2+4x+16)$

Решение уравнения:

$9x+12-x+4=x^2+4x+16$

$-x^2+4\mathrm{x}=0$

$x(-x+4)=0$

$x=0$ или $-x+4=0$

$-x=-4$

$x=4$ - не является корнем

Ответ: 0.

Исходное уравнение:

$\frac{3}{8y^3+1}-\frac{1}{2y+1}=\frac{y+3}{4y^2-2y+1}$

Приведение к общему знаменателю:

$\frac{3}{(2y+1)(4y^2-2y+1)}-\frac{1}{2y+1}=\frac{y+3}{4y^2-2y+1}$

Установка условий для $y$:

$2y+1\ne 0,$значит $y\ne -0,5$

$4y^2-2y+1\ne 0$

Проверка дискриминанта:

$D=(-2{)}^2-4\cdot 4\cdot 1=4-16<0$ корней нет

Умножение обеих сторон на общий знаменатель:

$3-4y^2+2y-1=2y^2+6y+y+3$

Решение квадратного уравнения:

$-6y^2-5y-1=0$

$6y^2+5y+1=0$

$D=5^2-4\cdot 6\cdot 1=1$

$y=\frac{-5\pm 1}{12}$

$y_1=-0.5y_2=-\frac{1}{3}$

Получили, что $y=-\frac{1}{3}$ является решением.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.