§ 11. Числовые неравенства и их свойства — 35. Свойства числовых неравенств — 875 — стр. 194

Для неравенства \(\sqrt{11} + 13\) и \(15\), заметим, что \(\sqrt{11} > 2\). Прибавляя \(13\) к обеим сторонам, получаем \(\sqrt{11} + 13 > 15\).

Возводим обе стороны \(\sqrt{84}\) и \(7 + \sqrt{6}\) в квадрат: \(84\) и \(49 + 14\sqrt{6} + 6\). Вычитая \(55\) из каждого выражения, получаем \(29\) и \(14\sqrt{6}\). Возводя еще раз в квадрат, получаем \(841 < 1176\), следовательно, \(\sqrt{84} < 7 + \sqrt{6}\).

Для \(\sqrt{8} - \sqrt{3}\) и \(2\), заметим, что \(\sqrt{8} < 3\) и \(\sqrt{3} > 1\), откуда \(-\sqrt{3} < -1\). Таким образом, \(\sqrt{8} + (-\sqrt{3}) < 3 + (-1)\), что дает \(\sqrt{8} - \sqrt{3} < 2\).

Для \(\sqrt{47} - \sqrt{7}\) и \(5\), заметим, что \(\sqrt{47} < 7\) и \(\sqrt{7} > 2\), откуда \(-\sqrt{7} < -2\). Значит, \(\sqrt{47} + (-\sqrt{7}) < 7 + (-2)\), что приводит к \(\sqrt{47} - \sqrt{7} < 5\).