§ 12. Неравенства с одной переменной и их системы — 40. Решение систем неравенств с одной переменной — 982 — стр. 220

Рассмотрим выражение \(\sqrt{3-2x} + \sqrt{1-x}\). Для того чтобы это выражение имело смысл, аргументы под корнями должны быть неотрицательными:

\(\begin{cases} 3 - 2x \geq 0\\1 - x \geq 0\end{cases}\)

Решая неравенства, получаем: \(\begin{cases}-2x \geq-3 \Rightarrow x \leq 1,5\\-x \geq -1 \Rightarrow x \leq 1\end{cases}\). С учётом обоих неравенств, решением будет \((- \infty ; 1]\).

Рассмотрим выражение \(\sqrt{x} - \sqrt{3x - 1}\). Для того чтобы это выражение имело смысл, аргументы под корнями должны быть неотрицательными:

\(\begin{cases} x \geq 0\\3x - 1 \geq 0\end{cases}\)

Решая неравенства, получаем: \(\begin{cases}x \geq 0\\ 3x \geq1 \Rightarrow x \geq \frac{1}{3}\end{cases}\). С учётом обоих неравенств, решением будет \([\frac{1}{3}; +\infty)\).

Рассмотрим выражение \(\sqrt{6 - x} - \sqrt{3x - 9}\). Для того чтобы это выражение имело смысл, аргументы под корнями должны быть неотрицательными:

\(\begin{cases} 6 - x \geq 0\\3x - 9 \geq 0\end{cases}\)

Решая неравенства, получаем: \(\begin{cases}-x \geq -6 \Rightarrow x \leq 6\\ 3x \geq 9 \Rightarrow x \geq 3\end{cases}\). С учётом обоих неравенств, решением будет \([3; 6]\).

Рассмотрим выражение \(\sqrt{2x + 2} + \sqrt{6 - 4x}\). Для того чтобы это выражение имело смысл, аргументы под корнями должны быть неотрицательными:

\(\begin{cases} 2x + 2 \geq 0\\6 - 4x \geq 0\end{cases}\)

Решая неравенства, получаем: \(\begin{cases}2x \geq -2 \Rightarrow x \geq -1\\ -4x\geq-6 \Rightarrow x \leq 1,5\end{cases}\). С учётом обоих неравенств, решением будет \([-1; 1,5]\).