Дополнительные упражнения к главе IV — К параграфу 11 — 1016 — стр. 227

Нам нужно доказать неравенство \(\sqrt{7} + 2\sqrt{5} < 2 + \sqrt{35}\).

Выражаем левую и правую части и вычитаем их друг из друга:

\(\sqrt{7} + 2\sqrt{5} - (2 + \sqrt{35}) \\= \sqrt{7} + 2\sqrt{5} - 2 - \sqrt{35} \\= (2\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{7} - \sqrt{35}) \\= 2(\sqrt{5} - 1) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}\sqrt{7}) \\= 2(\sqrt{5} - 1) + \sqrt{7}(1 - \sqrt{5}) \\= 2(\sqrt{5} - 1) - \sqrt{7}(\sqrt{5} - 1) \\= (\sqrt{5} - 1)(2 - \sqrt{7}) \\= (\sqrt{5} - \sqrt{1})(\sqrt{4} - \sqrt{7})\)

Так как \(\sqrt{5} - \sqrt{1} > 0\) и \(\sqrt{4} - \sqrt{7} < 0\), произведение \((\sqrt{5} - \sqrt{1})(\sqrt{4} - \sqrt{7}) < 0\). Следовательно, \(\sqrt{7} + 2\sqrt{5} - (2 + \sqrt{35}) < 0\), что означает \(\sqrt{7} + 2\sqrt{5} < 2 + \sqrt{35}\).

Нам нужно доказать неравенство \(4\sqrt{6} + 2 > 2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}\).

Выражаем левую и правую части и вычитаем их друг из друга:

\(4\sqrt{6} + 2 - (2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}) \\= 4\sqrt{6} + 2 - 2\sqrt{3} - 4\sqrt{2} \\= (4\sqrt{6} - 4\sqrt{2}) + (2 - 2\sqrt{3}) \\= (4\sqrt{2}\sqrt{3} - 4\sqrt{2}) + (2 - 2\sqrt{3}) \\= 4\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) - 2(\sqrt{3} - 1) \\= (\sqrt{3} - 1)(4\sqrt{2} - 2) \\= (\sqrt{3} - \sqrt{1})(\sqrt{32} - \sqrt{4})\)

Так как \(\sqrt{3} - \sqrt{1} > 0\) и \(\sqrt{32} - \sqrt{4} > 0\), произведение \((\sqrt{3} - \sqrt{1})(\sqrt{32} - \sqrt{4}) > 0\). Следовательно, \(4\sqrt{6} + 2 - (2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}) > 0\), что означает \(4\sqrt{6} + 2 > 2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}\).