(Задача-исследование.) Моторная лодка прошла в один день некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. В другой день она прошла такое же расстояние по течению более быстрой реки и также вернулась обратно. В какой из дней лодка затратила на весь путь больше времени?
1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.
2) Введите обозначения:
\(x\) км/ч - скорость лодки в стоячей воде;
\(y\) км/ч и \(z\) км/ч - скорости течения первой и второй рек; \(s\) км - расстояние, на которое отплывала лодка.
3) Запишите формулы для вычисления времени \(t_{1}\) ч и \(t_{2}\) ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.
4) Найдите разность \(t_{1}-t_{2}\) и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.
5) Подтвердилось ли ваше предположение?
Пусть \( x \) км/ч - скорость лодки в стоячей воде, \( y \) км/ч - скорость течения первой реки. Тогда \( (x+y) \) км/ч - скорость лодки по течению первой реки, \( (x-y) \) км/ч - скорость лодки против течения первой реки. \( s \) км - расстояние, на которое отплыла лодка.
\( t_1 = (\frac{s}{x+y}+\frac{s}{x-y}) \) ч - время, затраченное лодкой на путь по первой реке.
\( z \) км/ч - скорость течения второй реки. Тогда \( (x+z) \) км/ч - скорость лодки по течению второй реки, \( (x-z) \) км/ч - скорость лодки против течения второй реки. Также \( s \) км - расстояние, на которое отплыла лодка. \( t_2 = (\frac{s}{x+z}+\frac{s}{x-z}) \) ч - время, затраченное лодкой на путь по второй реке.
Сравним \( t_1 \) и \( t_2 \):
\(t_1 - t_2 = \frac{s}{x+y}+\frac{s}{x-y}-(\frac{s}{x+z}+\frac{s}{x-z}) \\= \frac{s(x-y)+s(x+y)}{(x+y)(x-y)}-\frac{s(x-z)+s(x+z)}{(x+z)(x-z)} \\= \frac{2sx}{(x+y)(x-y)}-\frac{2sx}{(x+z)(x-z)}\)
Числители дробей одинаковы, сравним знаменатели:
\((x+y)(x-y)-(x+z)(x-z)=x^2-y^2-x^2+z^2=z^2-y^2\)
\(\text{Так как } y < z, \text{ то } z^2 - y^2 > 0,\)
\(\text{следовательно, } (x+y)(x-y)-(x+z)(x-z) > 0\)
\(\text{и } \frac{2sx}{(x+y)(x-y)} < \frac{2sx}{(x+z)(x-z)},\)
\(\text{следовательно, } t_1 - t_2 < 0.\)
Ответ: Лодка затратила больше времени во второй день.
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Алгебра за 8 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
(Задача-исследование.) Моторная лодка прошла в один день некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. В другой день она прошла такое же расстояние по течению более быстрой реки и также вернулась обратно. В какой из дней лодка затратила на весь путь больше времени? 1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе. 2) Введите обозначения: \(x\) км/ч - скорость лодки в стоячей воде; \(y\) км/ч и \(z\) км/ч - скорости течения первой и второй рек; \(s\) км - расстояние, на которое отплывала лодка. 3) Запишите формулы для вычисления времени \(t_{1}\) ч и \(t_{2}\) ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней. 4) Найдите разность \(t_{1}-t_{2}\) и, оценив её, ответьте на вопрос задачи. 5) Подтвердилось ли ваше предположение?
Еще решебники за 8 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 8 класс, которые могут быть Вам интересны.
