Задачи повышенной трудности — Задачи — 1278 — стр. 282

У нас дано уравнение:
\(x^2 - 2x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - 13 = 0\)

Мы начинаем, разделяя выражение на квадраты и не квадраты:
\((x^2 + \frac{1}{x^2}) + (-2x - \frac{2}{x}) - 13 = 0\)
\((x^2 + 2x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - 2x \cdot \frac{1}{x}) - 2(x + \frac{1}{x}) - 13 = 0\)
\((x + \frac{1}{x})^2 - 2 - 2(x + \frac{1}{x}) - 13 = 0\)
\((x + \frac{1}{x})^2 - 2(x + \frac{1}{x}) - 15 = 0\)

Пусть \(y = x + \frac{1}{x}\), тогда у нас получается квадратное уравнение вида \(y^2 - 2y - 15 = 0\).

По теореме Виета мы можем найти корни этого уравнения: \(y_1 = -3\) и \(y_2 = 5\).

Теперь мы решаем два уравнения относительно \(x + \frac{1}{x}\):
\(\begin{cases}x + \frac{1}{x} = -3 & \text{или} & x + \frac{1}{x} = 5 \\x^2 + 1 = -3x & & x^2 + 1 = 5x \\x^2 + 3x + 1 = 0 & & x^2 - 5x + 1 = 0 \\D = 9 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 & & D = 25 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 21 \\x_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} & & x_3 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \\x_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} & & x_4 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \\\end{cases}\)

Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 2x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - 13 = 0\) равны:
\(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}, \quad x_3 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}, \quad x_4 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}\).