Задачи повышенной трудности — Задачи — 1282 — стр. 283

В данной задаче мы рассматриваем уравнение \(y=\sqrt{12+2 \sqrt{35+2x-x^2}}-\sqrt{12-2 \sqrt{35+2x-x^2}}\), где \(x, y\) — целые числа.

Для начала, возведем обе части уравнения в квадрат:
\(y^2 = (\sqrt{12+2 \sqrt{35+2x-x^2}}-\sqrt{12-2 \sqrt{35+2x-x^2}})^2 \)
\(= (12+2 \sqrt{35+2x-x^2})^2 - 2\sqrt{(12+2 \sqrt{35+2x-x^2})(12-2 \sqrt{35+2x-x^2})} \\+ (12-2 \sqrt{35+2x-x^2})\)
\(=24 - 2\sqrt{144-4(35+2x-x^2)}\)
\(= 24 - 2\sqrt{144-140-8x+4x^2} \)
\(=24 - 2\sqrt{4-8x+4x^2} \)
\(=24 - 2\sqrt{4(x^2-2x+1)}\)
\(=24 - 2\cdot 2\sqrt{(x-1)^2} \)
\(=24 - 4|x-1| \)
Таким образом, \(y^2 = 24 - 4|x-1|\).

Если \(x-1 \geq 0\), то есть \(x \geq 1\), то \(y=\sqrt{24-4x+4}=\sqrt{28-4x}\) является целым числом при:
\(x=6 : y=\sqrt{28-4 \cdot 6}=\sqrt{4}=2 \)
\(x=7 : y=\sqrt{28-4 \cdot 7}=0 \)
Если \(x-1 < 0\), то есть \(x < 1\), то \(y=\sqrt{24+4x-4}=\sqrt{20+4x}\) является целым числом при:
\(x=-1 : y=\sqrt{20+4 \cdot (-1)}=\sqrt{16}=4 \)
\(x=-4: y=\sqrt{20+4 \cdot (-4)}=\sqrt{4}=2\)
\(x=-5 : y=\sqrt{20+4 \cdot (-5)}=0 \)
Таким образом, решение уравнения: \(y=0, 2, 4\).