Задачи повышенной трудности — Задачи — 1287 — стр. 283

\( a + b\sqrt{2} \), где \( a \) и \( b \) являются рациональными числами.

1. Сложение чисел:
При сложении чисел вида \( (x+y\sqrt{2}) + (m+n\sqrt{2}) \) получаем \( (x+m) + \sqrt{2}(y+n) \), что также имеет вид \( a+b\sqrt{2} \).

2. Вычитание чисел:
При вычитании \( (x+y\sqrt{2}) - (m+n\sqrt{2}) \) получаем \( (x-m) + \sqrt{2}(y-n) \), также в форме \( a+b\sqrt{2} \).

3. Умножение чисел:
При умножении \( (x+y\sqrt{2}) \cdot (m+n\sqrt{2}) \) получаем \( (xm+2yn) + \sqrt{2}(ym+xn) \), что также представляется в форме \( a+b\sqrt{2} \).

4. Деление чисел:
При делении \( \frac{x+y\sqrt{2}}{m+n\sqrt{2}} \) и последующих преобразованиях получаем \( \frac{xm-2yn}{m^2-2n^2} + \frac{ym-xn}{m^2-2n^2}\sqrt{2} \), также в форме \( a+b\sqrt{2} \).

Таким образом, решение показывает, что операции сложения, вычитания, умножения и деления чисел вида \( a+b\sqrt{2} \) сохраняют этот вид, что демонстрирует их замкнутость относительно этих операций.