Задачи повышенной трудности — Задачи — 1291 — стр. 283

\((a-1)(a-2)(a-5)(a-6) + 9\)
\(= ((a-1)(a-6))((a-2)(a-5)) + 9\)
\(= (a^2 - a - 6a + 6)(a^2 - 5a - 2a + 10) + 9\)
\(= (a^2 - 7a + 6)(a^2 - 7a + 10) + 9\)
Обозначим \(m = a^2 - 7a + 6\).

Теперь у нас уравнение выглядит как \(m(m + 4) + 9 = m^2 + 4m + 9\). График этой функции является параболой, у которой ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции принимается в вершине параболы.

Формула для абсциссы вершины параболы: \(x = \frac{-b}{2a}\).

Заменяя \(m\) на \(x\), получаем \(x = \frac{-4}{2} = -2\).

Теперь найдем значение функции в точке \(x = -2\):
\(y = (-2)^2 + 4(-2) + 9 = 4 - 8 + 9 = 5\).

Таким образом, наименьшее значение функции равно 5.