Задачи повышенной трудности — Задачи — 1297 — стр. 284

Дана задача о двух мальчиках, бегущих на беговой дорожке. Пусть \(x\) м/с - скорость первого мальчика, \(y\) м/с - скорость второго мальчика. Первый мальчик пробегает первые 10 м за \(\frac{10}{x}\) секунд, второй - за \(\frac{10}{y}\) секунд. Уравнение, описывающее расстояние, равное сумме пройденных путей обоих мальчиков до встречи, имеет вид:
\(10x + 9y = 50 + 50\)

Преобразуем систему уравнений:
\(\begin{cases}\frac{10}{x} - \frac{10}{y} = 1 \\10x + 9y = 100\end{cases}\)

Избавимся от знаменателей:
\(\begin{cases}10y - 10x = xy \\10x + 9y = 100\end{cases}\)
\(\begin{cases}10y - 10x = xy \\10x = 100- 9y\end{cases}\)
\(\begin{cases}10y - (100- 9y) = (10- 0,9y)y \\10x = 100- 9y\end{cases}\)
\(\begin{cases}10y - 100+ 9y = 10y- 0,9y^2 \\x = 10- 0.9y\end{cases}\)

Решим систему уравнений:
\(\begin{cases}19y - 10y + 0.9y^2 = 100 \\x = 10 - 0.9y\end{cases}\)
\(\begin{cases}0.9y^2+9y - 100=0 \\x = 10 - 0.9y\end{cases}\)

Упростим уравнение и получим квадратное уравнение:
\(0.9y^2 + 9y - 100 = 0\)

Вычислим дискриминант:
\(\mathrm{D} = 8100 - 4 \cdot 9 \cdot (-1000) = 44100\)

Решим квадратное уравнение:
\(y_1 = \frac{-90 + \sqrt{44100}}{18} = \frac{120}{18} = 6\frac{2}{3} \mathrm{~м/c}\)
\(y_2 = \frac{-90 - \sqrt{44100}}{18} = -\frac{300}{18} \mathrm{~м/c}\)
Однако, второе решение \(y_2\) не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной. Таким образом, получаем, что второй мальчик бежит со скоростью \(6\frac{2}{3}\) м/с.

Теперь найдем расстояние от конца дорожки до места встречи:
\(9 \cdot \frac{20}{3} - 50 = 60 - 50 = 10 \mathrm{~м}\)
Таким образом, ответ на задачу: \(10 \mathrm{~м}\).