Задачи повышенной трудности — Задачи — 1301 — стр. 284

Установление переменных:
\( S \) км - расстояние между А и В,
\( x \) км/ч - скорость первого мотоциклиста,
\( y \) км/ч - скорость второго мотоциклиста,
\( t \) ч - время движения до встречи.

Формулирование уравнений:
Для времени встречи и расстояний между ними получаем систему уравнений:
\(\begin{cases}\frac{S}{x + y} = t \\x(t + 2.5) = S \\y(t + 1.6) = S\end{cases}\)
\(\begin{cases}\frac{S}{x + y} = t \\x=\frac{S}{t + 2.5} \\y=\frac{S}{t + 1.6}\end{cases}\)

Подставляем выражения для \( x \) и \( y \) в уравнение для времени встречи:
\( \frac{S}{\frac{S}{t+2.5} + \frac{S}{t+1.6}} = t\)

Упрощаем выражение и получаем:
\( \frac{S(t+2.5)(t+1.6)}{S(t+1.6) + S(t+2.5)} = t\)

Далее упрощаем выражение, что приводит нас к квадратному уравнению:
\( \frac{(t+2.5)(t+1.6)}{2t+4.1} = t\)
\( t^2 + 2.5t + 1.6t + 4 = t(2t + 4.1)\)
\( t^2 + 4.1t + 4 = 2t^2 + 4.1t\)
\( 2t^2 + 4.1t - t^2 - 4.1t - 4 = 0\)
\( t^2 - 4 = 0\)

Нахождение времени:
Решая квадратное уравнение, получаем \( t^2 = 4 \), что дает нам два решения: \( t_1 = -2 \) и \( t_2 = 2 \).
\( t_1 = -2 \) не удовлетворяет условиям задачи.
\( t_2 = 2 \) ч - это время движения до встречи.

Вычисление времени движения:
Подставляем \( t = 2 \) в уравнения скорости каждого мотоциклиста:
Мотоциклист 1: \( 2 + 2.5 = 4.5 \) ч,
Мотоциклист 2: \( 2 + 1.6 = 3.6 \) ч.

Ответ: Время до встречи составляет 2 часа. Время движения первого мотоциклиста - 4.5 часа, второго - 3.6 часа.