Задачи повышенной трудности — Задачи — 1301 — стр. 284

Установление переменных:
$S$ км - расстояние между А и В,
$x$ км/ч - скорость первого мотоциклиста,
$y$ км/ч - скорость второго мотоциклиста,
$t$ ч - время движения до встречи.

Формулирование уравнений:
Для времени встречи и расстояний между ними получаем систему уравнений:
$\{\begin{array}{l}\frac{S}{x+y}=t\\ x(t+2.5)=S\\ y(t+1.6)=S\end{array}$
$\{\begin{array}{l}\frac{S}{x+y}=t\\ x=\frac{S}{t+2.5}\\ y=\frac{S}{t+1.6}\end{array}$

Подставляем выражения для $x$ и $y$ в уравнение для времени встречи:
$\frac{S}{\frac{S}{t+2.5}+\frac{S}{t+1.6}}=t$

Упрощаем выражение и получаем:
$\frac{S(t+2.5)(t+1.6)}{S(t+1.6)+S(t+2.5)}=t$

Далее упрощаем выражение, что приводит нас к квадратному уравнению:
$\frac{(t+2.5)(t+1.6)}{2t+4.1}=t$
$t^2+2.5t+1.6t+4=t(2t+4.1)$
$t^2+4.1t+4=2t^2+4.1t$
$2t^2+4.1t-t^2-4.1t-4=0$
$t^2-4=0$

Нахождение времени:
Решая квадратное уравнение, получаем $t^2=4$, что дает нам два решения: $t_1=-2$ и $t_2=2$.
$t_1=-2$ не удовлетворяет условиям задачи.
$t_2=2$ ч - это время движения до встречи.

Вычисление времени движения:
Подставляем $t=2$ в уравнения скорости каждого мотоциклиста:
Мотоциклист 1: $2+2.5=4.5$ ч,
Мотоциклист 2: $2+1.6=3.6$ ч.

Ответ: Время до встречи составляет 2 часа. Время движения первого мотоциклиста - 4.5 часа, второго - 3.6 часа.