Задачи повышенной трудности — Задачи — 1303 — стр. 285

Выразим время работы каждого самосвала через переменные \(x\) и \(y\):
\(\begin{cases}\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = 3 \\\frac{1}{3x} + \frac{2}{3y} - 7\frac{1}{3} = \frac{1}{x+y}\end{cases}\)

Упростим уравнения:
\(\begin{cases}x - 3y = 0 \\\frac{1}{3x} + \frac{2}{3y} - \frac{22}{3} = \frac{1}{x+y}\end{cases}\)
\(\begin{cases}x-y=3 x y \\ \frac{1}{3 x}+\frac{2}{3 y}-\frac{22}{3}=\frac{1}{x+y}\end{cases}\)
\(\begin{cases}3 xy+y=x \\ \frac{1}{3 x}+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{y}-\frac{22}{3}=\frac{1}{x+y}\end{cases}\)
\(\begin{cases}y(3 x+1)=x \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x}+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{y}-\frac{22}{3}=\frac{1}{x+y}\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=\frac{x}{3 x+1} \\ \frac{1}{3 x}+\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x+1}{x}-\frac{22}{3}=\frac{1}{x+\frac{x}{3 x+1}}\end{cases}\)

Решим систему уравнений:
\(\begin{cases}y = \frac{x}{3x+1} \\\frac{1 + 2(3x+1) - 22x}{3x} = \frac{1}{\frac{x(3x+1)+x}{3x+1}}\end{cases}\)

Упростим уравнение:
\(\frac{1+2(3 x+1)-22 x}{3 x}=\frac{3 x+1}{3 x^2+x+x}\)
\(\frac{1+6 x+2-22 x}{3 x}=\frac{3 x+1}{3 x^2+2 x}\)
\(\frac{-16 x+3}{3 x}=\frac{3 x+1}{x(3 x+2)}\)
\( (-16x + 3) \cdot (3x + 2) = 3 \cdot (3x + 1)\)

Решим квадратное уравнение:
\((-16 x+3) \cdot (3 x+2)=3 \cdot (3 x+1)\)
\(-48 x^2+9 x-32 x+6=9 x+3\)
\(-48 x^2-23 x+6-9 x-3=0\)

Получим:
\( -48x^2 - 32x + 3 = 0\)
\( 48x^2 + 32x - 3 = 0\)

Найдем дискриминант:
\( D = 32^2 - 4 \cdot 48 \cdot (-3) = 1600\)

Рассмотрим корни:
\( x_1 = \frac{-32 - 40}{2 \cdot 48} < 0 \) не удовлетворяет условиям задачи
\( x_2 = \frac{-32 + 40}{2 \cdot 48} = \frac{8}{96} = \frac{1}{12} \) удовлетворяет условиям задачи

Найдем время работы одного самосвала:
\( \text{Время} = \frac{1}{x_2} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12 \text{ ч}\)

Найдем время работы 2 самосвала: \( = 15 \text{ ч}\)

Таким образом, корректный ответ на задачу: 12 часов и 15 часов.