§ 40. Сообщающиеся сосуды — Упражнение 23 — 6 — стр. 136

1. Сравнение давления на дно в обоих сосудах:

Дано:
- Плотность воды \( \rho = 1000 \, \text{кг/м}^3 \)
- Высота столба жидкости в первом сосуде \( h_1 = 48 \, \text{см} = 0{,}48 \, \text{м} \)
- Высота столба жидкости во втором сосуде \( h_2 = 14 \, \text{см} = 0{,}14 \, \text{м} \)
- Ускорение свободного падения \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \)

Давление на дно сосуда рассчитывается по формуле:
\(p = \rho g h\)

Найдём разность давлений \( p_1 - p_2 \):
\(p_1 = \rho g h_1 = 1000 \times 10 \times 0{,}48 = 4800 \, \text{Па} = 4{,}8 \, \text{кПа}\)
\(p_2 = \rho g h_2 = 1000 \times 10 \times 0{,}14 = 1400 \, \text{Па} = 1{,}4 \, \text{кПа}\)
\(p_1 - p_2 = 4{,}8 \, \text{кПа} - 1{,}4 \, \text{кПа} = 3{,}4 \, \text{кПа}\)

Ответ: давление воды на глубине 48 см на 3,4 кПа больше, чем на глубине 14 см.

2. Определение уровня воды после открытия крана:

При открытии крана уровень воды в обоих сосудах станет одинаковым. Обозначим этот уровень через \( h \). Так как объём воды остаётся постоянным, пишем уравнение объёмов:

\(h_1 S_1 + h_2 S_2 = h S_1 + h S_2\)

где \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади поперечных сечений сосудов.

Площадь поперечного сечения \( S \) определяется по формуле \( S = \frac{\pi d^2}{4} \), где \( d \) — диаметр сосуда.

Если диаметр второго сосуда в 4 раза больше, чем диаметр первого, то \( d_2 = 4d_1 \). Тогда:

\(S_1 = \frac{\pi d_1^2}{4}\)
\(S_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (4d_1)^2}{4} = \frac{\pi \times 16d_1^2}{4} = 4 \pi d_1^2\)

Подставим площади в уравнение объёмов и решим для \( h \):

\(h = \frac{h_1 S_1 + h_2 S_2}{S_1 + S_2}\)
\(h = \frac{h_1 \cdot d_1^2 + h_2 \cdot 16d_1^2}{d_1^2 + 16d_1^2} = \frac{h_1 + 16h_2}{1 + 16}\)

Подставляем значения \( h_1 = 0{,}48 \, \text{м} \) и \( h_2 = 0{,}14 \, \text{м} \):

\(h = \frac{0{,}48 + 16 \cdot 0{,}14}{17} = \frac{0{,}48 + 2{,}24}{17} = \frac{2{,}72}{17} \approx 0{,}16 \, \text{м}\)

Ответ: после открытия крана уровень воды установится на высоте 0,16 м.