§ 31. Первая космическая скорость — Вопросы в параграфе — 1 — стр. 100

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, с которой тело должно двигаться, чтобы находиться на круговой орбите вокруг Земли без применения двигателей.

Сила тяжести, действующая на спутник:
$F_{\text{тяж}}=G\cdot \frac{M_{\text{Земля}}\cdot m}{R^2},$
где $G$ — гравитационная постоянная, $M_{\text{Земля}}$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $R$ — радиус орбиты.

Для движения по круговой орбите необходима центростремительная сила:
$F_{\text{ц}}=\frac{m\cdot v_1^2}{R}.$

Приравнивая $F_{\text{тяж}}=F_{\text{ц}}$:
$G\cdot \frac{M_{\text{Земля}}\cdot m}{R^2}=\frac{m\cdot v_1^2}{R}.$
Упростим:
$v_1^2=G\cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{R}.$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли:
$g=G\cdot \frac{M_{\text{Земля}}}{R^2}.$

Подставим $g$ в уравнение для скорости:
$v_1^2=g\cdot R\Rightarrow v_1=\sqrt{g\cdot R}.$

Ответ: формула $v_1=\sqrt{g\cdot R}$ доказана.