§ 32. Примеры решения задач по теме «Первая космическая скорость» — Задачи для самостоятельного решения — 2 — стр. 104

Импульс силы \(I\) определяется изменением количества движения:
\(I = \Delta p = m \cdot \Delta v,\)
где:
- \(m = 1 \, \text{т} = 1000 \, \text{кг}\) — масса спутника,
- \(\Delta v = v_2 - v_1\) — изменение скорости спутника при переходе на другую орбиту.

Линейная скорость спутника на круговой орбите определяется формулой:
\(v = \sqrt{\frac{GM}{R}},\)
где:
- \(G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\) — гравитационная постоянная,
- \(M = 6 \cdot 10^{24} \, \text{кг}\) — масса Земли,
- \(R = R_З + h\) — радиус орбиты (\(R_З = 6{,}4 \cdot 10^6 \, \text{м}, \, h = 200 \cdot 10^3 \, \text{м}\)).

1. Скорость на орбите \(R_З + h\):
\(v_1 = \sqrt{\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{6{,}4 \cdot 10^6 + 200 \cdot 10^3}}.\)

\(v_1 = \sqrt{\frac{4{,}002 \cdot 10^{14}}{6{,}6 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{6{,}06 \cdot 10^7} \approx 7{,}8 \, \text{км/с}.\)

2. Скорость на орбите \(R_З + 2h\):
\(v_2 = \sqrt{\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{6{,}4 \cdot 10^6 + 400 \cdot 10^3}}.\)

\(v_2 = \sqrt{\frac{4{,}002 \cdot 10^{14}}{6{,}8 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{5{,}89 \cdot 10^7} \approx 7{,}68 \, \text{км/с}.\)

3. Изменение скорости:
\(\Delta v = v_2 - v_1 = 7{,}8 - 7{,}68 = 0{,}12 \, \text{км/с} = 120 \, \text{м/с}.\)

4. Импульс силы:
\(I = m \cdot \Delta v = 1000 \cdot 120 = 1{,}2 \cdot 10^5 \, \text{Н} \cdot \text{с}.\)

Импульс силы, подействовавший на спутник, равен \(1{,}2 \cdot 10^5 \, \text{Н} \cdot \text{с}\).