§ 35. Примеры решения задач по теме «Силы упругости. Закон Гука» — Задачи для самостоятельного решения — 3 — стр. 112

Ввод системы координат:

- Ось \(X\) направим вдоль наклонной плоскости.

- Ось \(Y\) перпендикулярно наклонной плоскости.

Записываем второй закон Ньютона в проекциях на оси:

- По оси \(X\) действует сила упругости пружины \(F_{\text{упр}} = k \cdot \Delta x\), где \(\Delta x\) — сжатие пружины. Также на ящик действует сила тяжести, проекция которой на ось \(X\) равна \(m \cdot g \cdot \sin\alpha\). Получаем уравнение:

\( k \cdot \Delta x = m \cdot g \cdot \sin 30^\circ. \)

- По оси \(Y\) действует нормальная сила \(N\), которая равна проекции силы тяжести на ось \(Y\): \(N = m \cdot g \cdot \cos 30^\circ\).

Решение для сжатия пружины:

Из уравнения по оси \(X\) находим сжатие пружины \(\Delta x\):

\( \Delta x = \frac{m \cdot g \cdot \sin 30^\circ}{k} \).

Длина сжатой пружины:

Длина пружины в момент сжатия (с учётом высоты ящика на наклонной плоскости) равна:

\( l = \frac{0,5}{\sin 30^\circ} = \frac{0,5}{0,5} = 1 \, \text{м} \).

Длина пружины в недеформированном состоянии:

Длина пружины в недеформированном состоянии равна длине сжатой пружины плюс сжатие:

\( L = l + \Delta x = 1 \, \text{м} + \frac{100 \cdot 10 \cdot 1}{2 \cdot 10^4} = 1 \, \text{м} + 0,05 \, \text{м} = 1,05 \, \text{м} \).