§ 55. Примеры решения задач по теме «Гидромеханика» — Задачи для самостоятельного решения — 1 — стр. 184

Для того чтобы вычислить давление на дно сосуда, нужно учитывать как давление от ртути, так и от воды. Рассмотрим следующие данные:

- Массы ртути и воды одинаковы.
- Плотность ртути: ${\rho }_{\text{ртуть}}=13,6\cdot {10}^3{\text{кг/м}}^3$.
- Плотность воды: ${\rho }_{\text{вода}}=1000{\text{кг/м}}^3$.
- Общая высота столба жидкости: $H=1\text{м}$.

Пусть высота столба ртути будет $h_{\text{ртуть}}$, а высота столба воды — $h_{\text{вода}}$.

Из условия задачи известно, что массы ртути и воды одинаковы. Массу жидкости можно выразить через плотность и объём, а объём жидкости — через её высоту и площадь поперечного сечения сосуда. Так как массы одинаковы, имеем:

${\rho }_{\text{ртуть}}{h}_{\text{ртуть}}={\rho }_{\text{вода}}{h}_{\text{вода}}.$

Таким образом, можно выразить высоту столба воды через высоту столба ртути:

$h_{\text{вода}}=\frac{{\rho }_{\text{ртуть}}}{{\rho }_{\text{вода}}}{h}_{\text{ртуть}}=\frac{13,6\cdot {10}^3}{1000}{h}_{\text{ртуть}}=13,6h_{\text{ртуть}}.$

Зная, что общая высота столба жидкости равна 1 м, можем записать:

$h_{\text{ртуть}}+h_{\text{вода}}=1\text{м}.$

Подставляем выражение для $h_{\text{вода}}$:

$h_{\text{ртуть}}+13,6h_{\text{ртуть}}=1.$

Решаем это уравнение для $h_{\text{ртуть}}$:

$14,6h_{\text{ртуть}}=1,$
$h_{\text{ртуть}}=\frac{1}{14,6}\approx 0,0685\text{м}.$

Теперь находим высоту столба воды:

$h_{\text{вода}}=1-h_{\text{ртуть}}=1-0,0685=0,9315\text{м}.$

Теперь, чтобы найти давление на дно сосуда, нужно учитывать вклад давления от ртути и от воды. Давление на дно сосуда $P$ равно сумме давления, создаваемого столбом воды и ртути:

$P={\rho }_{\text{вода}}g{h}_{\text{вода}}+{\rho }_{\text{ртуть}}g{h}_{\text{ртуть}}.$

Где $g=9,8{\text{м/с}}^2$ — ускорение свободного падения.

Подставляем значения:

$P=(1000\cdot 9,8\cdot 0,9315)+(13,6\cdot {10}^3\cdot 9,8\cdot 0,0685).$

Вычисляем:

$P=1000\cdot 9,8\cdot 0,9315=9125,7\text{Па},$
$P=13,6\cdot {10}^3\cdot 9,8\cdot 0,0685=9134,7\text{Па}.$

Таким образом, суммарное давление на дно сосуда:

$P=9125,7+9134,7=18260,4\text{Па}.$

Ответ: Давление на дно сосуда составляет примерно 18260,4 Па.