§ 55. Примеры решения задач по теме «Гидромеханика» — Задачи для самостоятельного решения — 1 — стр. 184

Для того чтобы вычислить давление на дно сосуда, нужно учитывать как давление от ртути, так и от воды. Рассмотрим следующие данные:

- Массы ртути и воды одинаковы.
- Плотность ртути: \(\rho_{\text{ртуть}} = 13,6 \cdot 10^3 \, \text{кг/м}^3\).
- Плотность воды: \(\rho_{\text{вода}} = 1000 \, \text{кг/м}^3\).
- Общая высота столба жидкости: \(H = 1 \, \text{м}\).

Пусть высота столба ртути будет \(h_{\text{ртуть}}\), а высота столба воды — \(h_{\text{вода}}\).

Из условия задачи известно, что массы ртути и воды одинаковы. Массу жидкости можно выразить через плотность и объём, а объём жидкости — через её высоту и площадь поперечного сечения сосуда. Так как массы одинаковы, имеем:

\(\rho_{\text{ртуть}} h_{\text{ртуть}} = \rho_{\text{вода}} h_{\text{вода}}.\)

Таким образом, можно выразить высоту столба воды через высоту столба ртути:

\(h_{\text{вода}} = \frac{\rho_{\text{ртуть}}}{\rho_{\text{вода}}} h_{\text{ртуть}} = \frac{13,6 \cdot 10^3}{1000} h_{\text{ртуть}} = 13,6 h_{\text{ртуть}}.\)

Зная, что общая высота столба жидкости равна 1 м, можем записать:

\(h_{\text{ртуть}} + h_{\text{вода}} = 1 \, \text{м}.\)

Подставляем выражение для \(h_{\text{вода}}\):

\(h_{\text{ртуть}} + 13,6 h_{\text{ртуть}} = 1.\)

Решаем это уравнение для \(h_{\text{ртуть}}\):

\(14,6 h_{\text{ртуть}} = 1,\)
\(h_{\text{ртуть}} = \frac{1}{14,6} \approx 0,0685 \, \text{м}.\)

Теперь находим высоту столба воды:

\(h_{\text{вода}} = 1 - h_{\text{ртуть}} = 1 - 0,0685 = 0,9315 \, \text{м}.\)

Теперь, чтобы найти давление на дно сосуда, нужно учитывать вклад давления от ртути и от воды. Давление на дно сосуда \(P\) равно сумме давления, создаваемого столбом воды и ртути:

\(P = \rho_{\text{вода}} g h_{\text{вода}} + \rho_{\text{ртуть}} g h_{\text{ртуть}}.\)

Где \(g = 9,8 \, \text{м/с}^2\) — ускорение свободного падения.

Подставляем значения:

\(P = (1000 \cdot 9,8 \cdot 0,9315) + (13,6 \cdot 10^3 \cdot 9,8 \cdot 0,0685).\)

Вычисляем:

\(P = 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,9315 = 9125,7 \, \text{Па},\)
\(P = 13,6 \cdot 10^3 \cdot 9,8 \cdot 0,0685 = 9134,7 \, \text{Па}.\)

Таким образом, суммарное давление на дно сосуда:

\(P = 9125,7 + 9134,7 = 18260,4 \, \text{Па}.\)

Ответ: Давление на дно сосуда составляет примерно 18260,4 Па.