§ 7. Примеры решения задач по теме «Сложение скоростей» — Задачи для самостоятельного решения — 4 — стр. 30

Рассмотрим задачу, используя обозначения:

- \( v \) — скорость человека, идущего по эскалатору,
- \( u \) — скорость эскалатора (скорость, с которой эскалатор спускает человека, если тот стоит),
- \( t_1 = 60 \, \text{с} \) — время, за которое человек спускается, идя со своей обычной скоростью,
- \( t_2 = 45 \, \text{с} \) — время, за которое человек спускается, если он идёт вдвое быстрее.

1. Когда человек идёт со своей обычной скоростью \( v \), он проходит расстояние, равное \( (v + u) t_1 \), где \( v + u \) — это его общая скорость (скорость человека относительно земли), а \( t_1 \) — время, которое он тратит на спуск.

\( \text{Пройденное расстояние} = (v + u) \cdot 60. \)

2. Когда человек идёт вдвое быстрее, его скорость становится \( 2v \), и он проходит тот же путь за время \( t_2 = 45 \) с. Расстояние при этом будет равно \( (2v + u) t_2 \).

\( \text{Пройденное расстояние} = (2v + u) \cdot 45. \)

Поскольку оба эти пути одинаковы (расстояние на эскалаторе не меняется), можно приравнять выражения для пройденного пути:

\((v + u) \cdot 60 = (2v + u) \cdot 45.\)

Раскроем скобки:

\(60v + 60u = 90v + 45u.\)

Теперь упростим:

\(60u - 45u = 90v - 60v,\)

\(15u = 30v,\)

\(u = 2v.\)

Таким образом, скорость эскалатора в два раза больше скорости человека.

Теперь, чтобы найти время, которое человек будет тратить на спуск, если он будет стоять на эскалаторе (то есть если его скорость \( v = 0 \)), используем следующее:

- Когда человек стоит на эскалаторе, его скорость равна \( u \), и время спуска будет:

\(t_3 = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость эскалатора}} = \frac{(v + u) \cdot 60}{u} = \frac{60v + 60u}{u}.\)

Подставляем \( u = 2v \):

\(t_3 = \frac{60v + 60 \cdot 2v}{2v} = \frac{60v + 120v}{2v} = \frac{180v}{2v} = 90 \, \text{с}.\)

Ответ: Человек, стоящий на эскалаторе, будет спускаться 90 секунд.